§5-1弹塑性力学中的边值问题3），4）5）求解方法和弹性问题一样，可以用两种基本方法：按位移求解或按应力求解。在全量理论适用并按位移求解弹塑性问题时，依留申提出的弹性解法显得很方便。将代入用位移表示的平衡微分方程得：其中或在弹性状态时，上式右端等于零，可得到弹性解。将它作为第一次近似解，代入上式右端作为已知项，又可以解出第二次近似解。重复以上过程，可得出所要求精度内接近实际的解。在小变形情况下，可以证明解能够很快收敛。在很多问题第二次近似解已能给出较为满意的结果。增量理论的边值问题及解法设在加载阶段的某一瞬时，已求得物体内各点的，求在此基础上，给定体力增量、上面力增量、上位移增量时，物体内部各点的应力增量、应变增量、位移增量。确定这些增量的基本方程组有：1）2）3）本构关系（理想弹塑性材料）弹性区塑性区4）5）此外，在弹塑性交界面上还应满足一定的连续条件和间断性条件。在给定加载历史时，可以对每时刻求出增量，然后用“积分”（累计）的方法得出应力和应变等分布规律。塑性力学中比较简单的问题，包括用平衡微分方程、屈服条件和应力边界条件就能完全确定应力场的所谓静定问题，以及屈服条件为线性的情况，求解时并不需要处理整套方程（因为其中许多方程已自动满足），需要处理的方程也可用较简单的数学方法求解属于这类问题的有纯拉伸、纯弯曲、纯扭转平面弯曲、厚壁筒和旋转圆盘等。一、研究对象及基本假设考虑横截面有两个对称轴的梁，由Mises理想塑性材料制成。荷载作用在对称平面xy平面内，仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：（1）、平截面假设；（2）、小变形，挠度；（3）、梁内各点为单向应力状态，只有；（4）、梁的材料在拉伸和压缩时有完全相同的力学性能。材料不可压缩，即取。二、应力分布设梁受弯矩M后产生的曲率为，由基本假设可知(5-1)规定使梁下凸时曲率及曲率半径为正。因为梁内各点都处于单向应力状态，所以在外载比例增加的情况下，必然是简单加载，可以使用全量理论，直接建立应力与应变的物理关系。或所以只要求出曲率，即可确定梁内各点的应力。三、的关系由截面上的力的合成得：(5-2)上式建立了曲率与弯矩之间的关系。给定可求出相应的，但给定反求时，须视的形式，如形式不是十分简单，则给定不易求。可通过绘曲线来求。确定关系是解决梁弯曲问题的关键。四、理想弹塑性材料梁对于理想弹塑性材料，其应力应变关系如下表示：当弯矩超过一定大小，使得梁截面上一部分区域进入塑性之后，梁截面上的应力分布如图。是塑性区的边缘到中性轴的距离。以代入（5-1）得:(5-3)得(5-4)其中是截面的弹性区对中性轴的惯性矩。是截面一块塑性区对中性轴的静矩。五、梁的变形及挠度在弹性区梁的位移分量为梁的应变分量为满足应变协调方程。在弹性区的边界处，由所以梁轴的挠曲方程为故如梁的横截面是高为h、宽为b的矩形，则令即得梁刚开始产生塑性变形时的弯矩—最大弹性弯矩。即得梁截面全部进入塑性状态时的弯矩—塑性极限矩。令和相应的梁的曲率半径为，此时即得这是梁屈服以后曲率半径和弯矩的关系。屈服前为求的显式为：给定可求得相应的，然后可求得梁截面上的应力分布。同样可以得的关系六、幂次强化材料设梁的材料为幂次强化材料，其单向拉压时的应力-应变关系服从幂规律式中B和n为常数，由实验测定，。单拉时式中，为截面的一种几何性质（n=1时，即为惯性矩）给定即可求出，从而可求得应变和应力分布。对于矩形截面梁，宽为（高为）。可得应力分布为：弹性状态及理想塑性极限状态都是幂次强化的特例。（为线弹性关系，即为理想塑性极限状态）七、线性强化材料梁设梁的材料为线性强化，其单向拉伸时的应力-应变关系为：则梁的应力为那么上式的适用范围是对宽为(高为)的矩形截面一、研究对象及基本假设考虑横截面有两个对称轴的梁，由Mises理想塑性材料制成。荷载作用在对称平面xy平面内，仍采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：（1）、平截面假设；（2）、小变形，挠度；（3）、各层间相互挤压不计；（4）、长度远大于横向尺寸，因而。材料不可压缩，即取。梁的位移分量为：梁的应变分量为：满足应变协调方程。梁的纵向纤维是受简单拉伸或压缩。在弯矩M增长时，每一单元体的加载显然都是简单加载，故可以用全量理论求解。二、本构方程在本构方程中忽略次要应力（即挤压应力和横向剪应力）的影响，材料处于轴向应力的单向拉压状态。对于理想弹塑性材料，应力—应变关系为其中，为屈服应变，即应力刚达到屈服应力时的应变。