2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学一》真题及详解一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。11．曲线yxlne的渐近线方程为（）。x1A．y＝x＋eB．y＝x＋1/eC．y＝xD．y＝x－1/e〖答案〗：B1〖解析〗由已知yxlne，则可得：x11xlneyx11klimlimlimlne1xxxxxx111blimykxlimxlnexlimxlne1xxx1xx11x1limxln1limxex1xex1e所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e。2．若微分方程y′′＋ay′＋by＝0的解在（－∞，＋∞）上有界，则（）。A．a＜0，b＞0B．a＞0，b＞0C．a＝0，b＞0D．a＝0，b＜0〖答案〗：C〖解析〗由题意，微分方程的特征方程为λ2＋aλ＋b＝0。当Δ＝a2－4b＞0时，特征方程有两个不同的实根λ，λ，则λ，λ至少有一个不等于零。1212xx若C、C都不为零，则微分方程的解为yCe1Ce2。因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）1212上有界。当Δ＝a2－4b＝0时，特征方程有两个相同的实根λ＝－a/2。1，2aaxx若C≠0，则微分方程的解为yCe2Ce2。因此，此时不能有解在（－∞，＋∞）上有界。212a4ba2当Δ＝a2－4b＜0时，特征方程的根为i。1,222a22x4ba4ba则通解为ye2CcosxCsinx。1222要使微分方程的解在（－∞，＋∞）有界，则a＝0，结合Δ＝a2－4b＜0，可得b＞0。x2tt3．设函数y＝f（x）由确定，则（）。ytsintA．f（x）连续，f′（0）不存在B．f′（0）存在，f′（x）在x＝0处不连续C．f′（x）连续，f′′（0）不存在D．f′′（0）存在，f′′（x）在x＝0处不连续〖答案〗：Cx3tdysinttcost〖解析〗（1）当t＞0时，，。ytsintdx3xtdysinttcost当t＜0时，，。ytsintdx1fxf0tsint当t＝0时，因为f0limlim0。x0xt03tfxf0tsintf0limlim0。x0xt0t所以f′（0）＝0。sinttcostsinttcost（2）因为limfxlim0；limfxlim0。x0t03x0t03所以limfxf00，即f′（x）在x＝0连续。x0fxf0sinttcost2（3）当t＝0时，因为f0limlim；x0xt033t9fxf0sinttcostf0limlim2。x0xt0t故f0f0。所以f′′（0）不存在。4．已知a＜b（n＝1，2，…），若级数a与b均收敛，则“级数a绝对收敛”是“bnnnnnnn1n1n1n1绝对收敛”的（）。A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件〖答案〗：A〖解析〗由级数a与b均收敛，可得ba为收敛的正项级数，进而绝对收敛。nnnnn1n1n1若a绝对收敛，则由|b|＝|b－a＋a|≤|b－a|＋|a|与比较判别法，可得b绝对收敛。nnnnnnnnnn1n1若b绝对收敛，则由|a|＝|a－b＋b|≤|b－a|＋|b|与比较判别法，可得a绝对收敛。nnnnnnnnnn1n1OAABC5．已知n阶矩阵A，B，C满足ABC＝O，E为n阶单位矩阵，记矩阵，，BCEOEEAB的秩分别为γ，γ，γ，则（）。ABO123A．γ≤γ≤γ123B．γ≤γ≤γ132C．γ≤γ≤γ312D．γ≤γ≤γ213〖答案〗：B〖解析〗因初等变换不改变矩阵的秩。由矩阵的初等变换可得：