2024年河北省石家庄市数学高三上学期模拟试卷及答案指导一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、已知函数fx=3x2−4x+5，则该函数在x=1处的导数值为：A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】首先，我们需要求出给定函数fx=3x2−4x+5的导数f′x。根据多项式函数的求导法则，可以得到f′x=6x−4。然后我们计算当x=1时的导数值f′1。让我们计算这个值。对于函数fx=3x2−4x+5，其导数为f′x=6x−4。因此，在x=1处的导数值为f′1=61−4=2。这表明正确选项是A.2。现在，我已经手动解析了过程并得出了答案。2、已知函数fx=x3−3x+1，则下列哪个选项正确描述了该函数在其定义域内的性质？A.函数在定义域内始终单调递增。B.函数在定义域内有且仅有一个极值点。C.函数有两个不同的极值点，在其中一个极值点处取得极大值，在另一个极值点处取得极小值。D.函数没有极值点。答案与解析：首先，我们需要求出函数的一阶导数f′x，以确定函数的单调性及其极值点的存在情况。然后根据导数的符号变化判断函数的单调区间及可能存在的极值点。一阶导数f′x=3x2−3。令f′x=0，解得x=−1或x=1，这意味着函数在x=−1和x=1处可能有极值点。进一步观察导数的变化，可以发现：当x<−1时，f′x>0；当−1<x<1时，f′x<0；当x>1时，f′x>0。因此，函数fx在x=−1处取得极大值，在x=1处取得极小值。这说明函数有两个不同的极值点，故正确答案为C。答案：C.函数有两个不同的极值点，在其中一个极值点处取得极大值，在另一个极值点处取得极小值。3、已知函数fx=logax2−1，其中a>0且a≠1。若此函数在其定义域内是严格增函数，则a的取值范围是：A.0,1B.1,+∞C.0,1∪1,+∞D.无法确定【答案】B【解析】首先，我们需要确定函数fx=logax2−1的定义域。由于对数函数仅当其内部为正时才有意义，我们有x2−1>0，解得x∈−∞,−1∪1,+∞。接下来，为了使fx在其定义域内严格增加，需要保证底数a>1，因为当a>1时，对数函数y=logat是严格增函数；同时t=x2−1在x∈1,+∞上也是严格增函数。因此，只有当a>1时，复合函数fx才能保持严格增性。选项B正确。接下来，我们可以简单验证一下t=x2−1在x∈1,+∞上是否确实为增函数。函数t=x2−1关于x的导数为2x。在区间1,+∞内，2x>0，这意味着t=x2−1在该区间内确实是严格增加的。这进一步支持了我们的解析，即当a>1时，函数fx=logax2−1在其定义域内为严格增函数。因此正确答案为B。4、若a=log32，b=log23，c=log43，则()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a解：首先，我们观察给定的三个数a=log32，b=log23，c=log43。对于a=log32，由于2<3，根据对数函数的单调性，我们有0=log31<log32<log33=1，即0<a<1。对于b=log23，由于3>2，同样根据对数函数的单调性，我们有log22=1<log23，即b>1。对于c=log43，我们可以利用换底公式将其转化为c=log23log24=log232。由于b=log23且b>1，则b2=log232=c，且0<c<1。接下来，我们需要比较a和c的大小。由于a=log32，c=log43，我们可以找一个公共的底数来进行比较。考虑a=log22log23和c=log23log24，由于log22=1，log24=2，且log23是同一个数，我们可以直接比较1log23和log232。由于log23>1，则1log23<log232，即a<c。综上，我们得到a<c<b。故答案为：C.a<c<b。5、已知fx={x2+2x+2a,x≤01x,x>0，若函数gx=fx−a有两个零点，则实数a的取值范围是()A.0,+∞B.[12,1)C.(−∞,12]D.−∞,0∪[12,1)1.当x≤0时，函数fx=x2+2x+2a。这是一个开口向上的二次函数，其对称轴为x=−1。计算fx在x=−1处的值：f−1=1−2+2a=2a−1。要使fx−a在x≤0上有零点，需要fx的最小值小于a，即2a−1<a，解得a<1。同时，由于f0=2a，要使fx−a在x≤0上有且仅有一个零点，还需要f0−a≥0，即a≥0。综上，在x≤0时，a的取值范围是[0,1)。2.当x>0时，函数fx=1x。这是一个反比例函数，在x>0的区间内是单调递减的。要使fx−a在x>0上有且仅有一个零点，即方程1x=a有且仅有一个解。这要求a>0（因