全国数学竞赛圆的专项训练1、（2012全国竞赛）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD=2BD．考点：三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；切线的判定．1682482专题：证明题．分析：（1）根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质，以及等角对等边即可证得C是△IBD的外心，然后证得OI⊥CI，即可证得OI是△IBD的外接圆的切线；（2）根据（1）可以得到AI=CD，AB=2BF，即可证得．解答：解：（1）∵∠CID=∠IAD+∠IDA，∠CDI=∠CDB+∠BDI=∠BAC+∠IDA=∠IAD+∠IDA∴∠CID=∠CDI，∴CI=CD．同理，CI=CB．故点C是△IBD的外心．连接OA，OC，∵I是AC的中点，且OA=OC，∴OI⊥AC，即OI⊥CI．∴OI是△IBD外接圆的切线．（2）由（1）可得：∵AC的中点I是△ABD的内心，∴∠BAC=∠CAD∴∠BDC=∠DAC=∠BAC，又∵∠ACD=∠DCF，∴△ADC∽△DFC，∴=，∵AC=2CI∴AC=2CD∴AD=2DF同理可得：AB=2BF∴AB+AD=2BF+2DF=2BD．2、（07全国竞赛，13（A））已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为，则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以．在Rt△和Rt△中，由射影定理得，。--5分两式相减可得，又，于是有，即，所以，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形的中位线，于是有，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．……15分3、（07全国竞赛，13（B））如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足．若，的延长线相交于点，△的外接圆与△的外接圆的另一个交点为点，连接PA，PB，PC，PD．求证：（1）；（2）△∽△．证明：（1）连接PE，PF，PG，因为，所以．又因为，所以△∽△，于是有，从而△∽△，所以．又已知，所以，．…10分（2）由于，结合（1）知，△∽△，从而有，所以，因此△∽△．……15分4、（09年全国数学竞赛，12分）如图，给定锐角三角形ABC，，AD，BE是它的两条高，过点作△ABC的外接圆的切线，过点D，E分别作的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．解法1：结论是．下面给出证明．………………5分因为，所以Rt△FCD∽Rt△EAB．于是可得．（第12题）同理可得．………………10分又因为，所以有，于是可得．………………20分解法2：结论是．下面给出证明．………5分连接DE，因为，所以A，B，D，E四点共圆，故．………………10分又l是⊙O的过点C的切线，所以．………………15分（第12题）所以，，于是DE∥FG，故DF＝EG．………………20分5、（2012年黄冈14题．)在中，，点O、H分别是的外心、垂心．点D、E分别在边BC、AB上，使得BD=BH，BE=BO，已知BO=3，求的面积．解：另法：辅助线如图，H是垂心，则BHAC，AN是直径，则，NCAC，则BH∥CN；同理CH∥BN；则四边形BNCH是平行四边形，则CN=BH=BD，又，ON=OC，则是等边三角形，，又，，，所以，而，故是边长为3的等边三角形，．6、18．（12分）如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和B，经过A作直线与⊙O1相交于D，与⊙O2相交于C，设弧BC的中点为M，弧BD的中点为N，线段CD的中点为K．求证：MK⊥KN．考点：相交两圆的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．1682482分析：首先将△KDN绕点K顺时针旋转180°得△GCK，连接MC，MB，GC，NB，ND，MN，延长AB交MN于S，根据旋转的性质，即可得CG=DN，∠GCK=∠KDN，又由弧BC的中点为M，弧BD的中点为N，即可证得DN=BN，MC=MB，然后由圆的内接四边形的性质，可证得∠GCM=∠MBN，即可根据AS证得△GCM≌△NBM，然后由等腰三角形的性质，证得MK⊥KN．解答：证明：将△KDN绕点K顺时针旋转180°得△GCK，连接MC，MB，GC，NB，ND，MN，延长AB交MN于S．…（3分）则CG=DN，∠GCK=∠KDN，∵弧BC的中点为M，