湖南省岳阳县第一中学高三数学组yzhgsb②126.com2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生数学试题分值:分时量:分钟一、选择题,1.已知向量a,b为非零向量,(a2b)a,(b2a)b,则a,b夹角为()A.B.C.D.6336tan()2.已知sin2(r)nsin2,则()tan()n1nnn1A.B.C.D.n1n1n1n13.在正方体ABCDABCD中,E为棱AA的中点,F是棱AB上的点,且AF:FB1:3,则异面直111111111线EF与BC所成角的正弦值为()1151555A.B.C.D.3535z22z24.i为虚数单位,设复数z满足|z|1,则的最大值为()z1iA.21B.22C.21D.225.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,ABC三个顶点都在抛物线上,且ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在的直线方程为4xy200,则抛物线方程为()A..y216xB.y28xC.y216xD.y28x6.在三棱柱ABCABC中,底面边长与侧棱长均不等于2,且E为CC的中点,则点C到平面ABE111111的距离为()32A.3B.2C.D.22|x|7.若关于x的方程kx2有四个不同的实数解,则k的取值范围为()x411A.(0,1)B.(,1)C.(,)D.(1,)448.如图,ABC内接于O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交O于G、F,交O1湖南省岳阳县第一中学高三数学组yzhgsb②126.com在A点处的切线于P,若PE3,ED2,EF3,则PA的长为()AlPA.5B.6C.7D.22GEOC9.数列{a}共有11项,a0,a4,且|aa|1,k1,2,,10k111k1kDB满足这种条件的不同数列的个数为()F第8题图A.100B.120C.140D.160210.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于y轴的镜面反射.7用表示变换的复合,先做,再做.用k表示连续k次的变换,则234是()A.4B.5C.2D.2二、解答题11.设数列{a}满足aa,ab,2aaa.n12n2n1n(1)设baa,证明:若ab,则{b}是等比数列;nn1nn(2)若lim(aaa)4,求a,b的值;12nn12.在ABC中,AB2AC,AD是角A的平分线,且ADkAC.(1)求k的取值范围;(2)若S1,问k为何值时,BC最短?ABC13.已知椭圆的两个焦点为F(1,0),F(1,0),且椭圆与直线yx3相切.12(1)求椭圆的方程;(2)过F作两条互相垂直的直线l,l,与椭圆分别交于P,Q及M,N,求四边形PMQN面积的最大值112与最小值.2湖南省岳阳县第一中学高三数学组yzhgsb②126.com14.一袋中有a个白球和b个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n次这样的操作后,记袋中白球的个数为X.n(1)求EX;1(2)设P(Xak)p,求P(Xak),k0,1,,b;nkn11(3)证明:EX(1)EX1.n1abn15.设f(x)xlnx.(1)求f(x);1(2)设0ab,求常数c,使得b|lnxc|dx取得最小值;baa(3)记(2)中的最小值为Ma,b,证明Ma,bln2.3湖南省岳阳县第一中学高三数学组yzhgsb②126.com参考答案:一.选择题1.B2.D3.B4.C5.A6.D7.C8.B9.B10.D二.解答题11.【解】(1)证:由aa,ab,2aaa,得2(aa)(aa).12n2n1nn2n1n1n11令baa,则bb,所以{b}是以ba为首项,以为公比的等比数列;nn1nn12nn21(2)由(1)可知baa(ba)()n1(nN*),nn1n211()n221所以由累加法得aa(ba),即aa(ba)[1()n],n111n11()3222