会计学复习(fùxí)回顾06三月20252．3.1平面(píngmiàn)向量基本定理学习导航预习目标(mùbiāo)重点难点重点：平面向量的基本定理及其应用，两向量的夹角及垂直．难点：平面向量基本定理的应用．做一做1.下列关于基底的说法正确的是()①平面内不共线(ɡònɡxiàn)的任意两个向量都可作为一组基底．②基底中的向量可以是零向量．③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A．①B．②C．①③D．②③答案：C非零向量(xiàngliàng)①范围：向量a与b的夹角范围是____________________．②当θ＝0°时a与b_________．③当θ＝180°时a与b________．(2)垂直(chuízhí)：如果a与b的夹角是_______，则称a与b垂直(chuízhí)，记作____________．做一做2.已知向量a与b的夹角(jiājiǎo)为60°，则向量－a和－b的夹角(jiājiǎo)为________．解析：如图所示，可得－a与－b的夹角(jiājiǎo)为60°.答案：60°想一想提示：不是．应该(yīnggāi)是∠BAC的补角．②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线(ɡònɡxiàn)，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ,μ使得λe1＋μe2＝0,则λ＝μ＝0.【解】由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么(nàme)任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，满足条件的实数λ有无数个．【名师点评】两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦(yīdàn)确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．//【名师点评】关于基底的一个结论(jiélùn)：设e1,e2是平面内一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时,恒有λ1＝λ2＝0.变式训练(xùnliàn)///已知|a|＝|b|＝2,且a与b的夹角(jiājiǎo)为60°,则a＋b与a的夹角(jiājiǎo)是________，a－b与a的夹角(jiājiǎo)是________．【名师点评】两向量夹角的实质和求解(1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点(qǐdiǎn)出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．(2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点(qǐdiǎn)重合,作出两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出．互动探究2.在本例中，若“a与b的夹角为90°”，其他条件不变，〈a＋b，a〉，〈a－b，a〉的夹角应分别(fēnbié)为________，________．答案：45°45°//名师微博在同一组基底(jīdǐ)下，两向量相等对应系数分别相等.【名师点评】平面向量基本定理中,实数λ1,λ2的唯一性是相对于基底(jīdǐ)e1，e2而言的.平面内任意两个不共线的向量都可作为基底(jīdǐ),一旦选定一组基底(jīdǐ)，则给定向量沿着基底(jīdǐ)的分解是唯一的．即若a是平面内的非零向量,且能表示为a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么一定有λ1＝μ1，λ2＝μ2.变式训练(xùnliàn)2.设a，b为平面(píngmiàn)α内的一组基底，试确定实数k，使得ka＋b和a＋kb共线．解：∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使得ka＋b＝λ(a＋kb)，//2.应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法如下：一般先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关(yǒuguān)知识解题．失误防范1.零向量不能作为基底，两个(liǎnɡɡè)非零向量共线时不能作为平面向量的一组基底．只有平面内两个(liǎnɡɡè)不共线的向量才可作为基底．2.平面内不共线的两个(liǎnɡɡè)向量可以作为基底，对于同一个向量，用不同基底表示时，实数对并不一定相同．3.向量的夹角与多边形内角区分开．小结(xiǎojié)：