考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编11(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设A为四阶实对称矩阵，且A2+A=O，若A的秩为3，则A相似于()正确答案：D解析：设A的特征值为λ，因为A2+A=O，所以λ2+λ=0，即λ(λ+1)=0→λ=0或λ=一1。又因为r(A)=3，A必可相似对角化，对角阵的秩也是3。所以λ=一1是三重特征根，则A～，正确答案为D。知识模块：线性代数2．设二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Py下的标准形为2y12+y22-y32，其中P=(e1，e2，e3)，若Q=(e1，-e3，e2)，f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为()A．2y12-y22+y32。B．2y12+y22-y32。C．2y12-y22-y32。D．2y12+y22+y32。正确答案：A解析：方法一：由题设可知f=XTAx—YT(PTAP)=2y12+y22-y32。且所以f=xTAx=yT(QTAQ)y=2y12-y22+y32。答案选A。方法二：由题意可知，二次型f(x1，x2，x3)的矩阵A的特征值为2，1，一1，对应的特征向量分别为e1，e2，e3。由特征向量的性质可知，e1，e2，-e3仍然分别是属于特征值2，1，一1的特征向量，同时e1，e2，-e3仍为单位正交向量组，故QTaQ=diag{2，一1，1}。所以二次型f(x1，x2，x3)在正交变换x=Qy下的标准形为2y12-y22-y32。故选A。知识模块：线性代数3．设矩阵A=，则A与B()A．合同，且相似。B．合同，但不相似。C．不合同，但相似。D．既不合同，也不相似。正确答案：B解析：方法一：由｜λE一A｜=0得A的特征值为0，3，3，而B的特征值为0，1，1．从而A与B不相似。又r(A)=r(B)=2，且A，B有相同的正惯性指数，因此A与B合同。故选B。方法二：因为tr(A)=2+2+2=6，tr(B)=1+1=2≠6，所以A与B不相似(不满足相似的必要条件)。又｜λE一A｜=λ(λ一3)2，｜λE一B｜=λ(λ一1)2，A与B是同阶实对称矩阵，其秩相等，且有相同的正惯性指数，故A与B合同。知识模块：线性代数4．设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为()A．B．C．D．正确答案：D解析：由矩阵A和D有相同的特征多项式，则矩阵A和D有相同的特征值。又矩阵A和D为同阶实对称矩阵，那么矩阵A和D相似。由于实对称矩阵相似必合同，故D正确。知识模块：线性代数5．设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则()A．a＞1。B．a＜一2。C．一2＜a＜1。D．a=1或a=一2。正确答案：C解析：二次型矩阵为，可知其特征值为a一1，a一1，a+2，于是a一1＜0，a+2＞0，即一2＜a＜1，故选C。知识模块：线性代数填空题6．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为__________。正确答案：2解析：方法一：因为f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x3—2x2x3，于是，二次型的矩阵为从而r(A)=2，即二次型的秩为2。方法二：因为f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2=2x12+2x22+2x32+2x1x2+2x1x3-2x2x3=2(x1+(x2一x3)2=2y12+y22，其中y1=x1+x3，y2=x2一x3。所以二次型的秩为2。知识模块：线性代数7．设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为1，A中各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为__________。正确答案：f=3y12解析：因为矩阵A的秩是1，因此矩阵A有两个0特征值，又因为A的各行元素的和为3，因此。故f的特征值为3，0，0。所以标准型为f=3y12。知识模块：线性代数8．二次型f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是__________。正确答案：[一2，2]解析：方法一：由配方法可知，f(x1，x2，x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3=(x1+x3)2一(x2—2x3)2+(4一a2)x32，由已知二次型的负惯性指数为1，故4一a2≥0，所以a