§1.线性空间与度量空间§1线性空间和度量空间定义2设V是一个非空集合,P是一个数域.元素与它们对应，称为k与的数量乘积，记4)对于V中每一个元素，都有V中的元素结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：例2：3.线性空间的基和维数例4在线性空间P[x]n中，4.子空间下面来看几个例子.例3在全体实函数组成的空间中，所有的实的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐5.生成子空间设，构成线性空间V的子空间，称为由的生成子空间。其中：思考：若线性无关，则若线性相关，则6.子空间的和结论：若，是线性空间V的子空间，则亦是V的子空间。进一步的，若分解唯一，则称为与的直和，记为7.维数公式设V是P上的n维线性空间。,是V的子空间。则有推论：若，则即称为与的内积，V称为度量空间（内积空间，欧几里得空间）例线性空间易验证：满足①，②，③，④。故是度量空间性质1性质2性质3性质4设则有（见）长度设为内积空间V的任一元素，称为的长度。记为，即性质2.—内积空间（见推论）<5><6><7>若与正交，则，该性质可以推广到有限个元素的情形。§2线性空间与内积空间的同构性质：①②③若在无关，则在中无关；反之亦成立，即在同构对应下，线性无关组对应线性无关组。④同构的有限维线性空间，其维数相同。此外，还具有自反性，对称性，传递性（线代中）反之，具有哪些性质的线性空间能否同构呢？或者说，两个线性空间在什么条件下才能同构呢？下面定理解决了这个问题。定理：数域P上任意两个n维线性空间与是同构的（proof见）推论：数域P上两个有限维线性空间与同构类似的，我们可以研究内积空间的同构二、内积空间的同构（自己看P45§3）定义：内积空间与，若（一一对应）使有：即作为线性空间与同构。在该同构关系下，向量内积保持不变。同构的两个欧氏空间具有相同的维数。§3线性变换2.变换—线性空间V到自身的映射，称为V的一个变换。线性变换—称线性空间V的一个变换T(A1)为线性变换；若对都有①(x+y)=(x)+(y)②(kx)=k(x)对于该线性变换有：4.零变换与单位变换设。则即：线性变换保持向量的线性组合与线性关系式。三、线性变换的运算及运算规律<3>数乘运算：，称为k与的数量乘积，记为，注意：易证，也是V的线性变换。运算规律：<1>结合律：（对加、乘法）<2>交换律：<3>分配律：<4>A1+0=A1A1+(-A1)=0<5>数乘满足：五、线性变换的秩与零度定义2：设是V的一个线性变换，记称为的核。（又记为ker()）显然也是集合，也是V的子空间，称为核空间定义3：称而结论：①保持长度不变§4线性变换的矩阵表示一、线性变换在一组基下的矩阵表示：用矩阵形式表述（*）有1.定义1：若可见，练习：2.结论：由此可得：上述线性变换与矩阵之间的对应关系是在给定的从而可以研究同一线性变换在两组不同基下的可逆，上式两边右乘试求计算得：三、正交变换在一组标准正交基下的矩阵：§5不变子空间与点到子空间的距离一、不变子空间与注：该结果可以推广到有限个子空间直和的情形。①②③设其中若令y=Ax，则y是n维列向量；上述若例2：用最小二乘法解方程组：解此线性方程组，得最小二乘解为，一、矩阵的基本概念4.若，当，称A为下三角矩阵（或严格下三角矩阵）。5.若，称A为上三角矩阵。，称A为严格上三角矩阵。6.主对角线元素全为1的上（下）三角矩阵称为单位上（下）三角矩阵。7.若，称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵，记为。注：8.设，若存在非奇异m阶阵P和n阶阵Q，使B=PAQ，则称A与B等价，记为。9.由阶矩阵A的位于第行,第列的元素按原来的次序构成的k阶阵，称为A的k阶子阵，相应的行列式称为A的k阶子行列式（子式）。10.矩阵A的所有非零子式的最高阶数称为A的秩，记为rank(A)。11.设A为阶阵。若rank(A)=min(m,n),则A为满秩阵。17.若，则称A为正规矩阵。若，则称A为酉阵。1)行列式的模等于12)3)酉阵的乘积仍是酉阵4)每个（行）列向量是单位向量，不同的两个列（行）向量是酉正交的。18.若，则称A为幂等阵，若，则称A为幂零阵。19.每行每列，恰有一个元素等于1，其余元素全为0的矩阵，称为排列（置换）矩阵，记为。20.若n阶阵A的顺序主子式都大于0，则称A为正定阵。二、矩阵的基本性质5.关于实对称阵与Hemite阵共有的性质：①矩阵的特征值全为实数②相异特征值对应的特征向量正交（不同的特征值对应的特征向量正交）③主对角线上的元素全为实数。6.反Hemite阵的特征值为零式或纯虚数