2025年湖南省常德市数学中考仿真试题及解答参考一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）1、若a和b是实数，且a<b，则下列哪个选项一定成立？A.a−1<b−1B.a2<b2C.a+1<b+1D.a2<b2答案：A、C、D解析：选项A：由于a<b，两边同时减去1，得到a−1<b−1，所以选项A成立。选项B：考虑反例，若a=−2和b=1，则a<b但a2=4而b2=1，所以a2>b2，选项B不一定成立。选项C：由于a<b，两边同时加上1，得到a+1<b+1，所以选项C成立。选项D：由于a<b，两边同时除以2（正数），得到a2<b2，所以选项D成立。2、已知x和y是正实数，且x⋅y=1，则x+y的最小值是？A.2B.4C.1D.0答案：A解析：根据题意，x和y是正实数且x⋅y=1。使用均值不等式（AM-GM不等式）：对于正实数x和y，有x+y2≥xy。代入xy=1，得到x+y2≥1=1，即x+y≥2。当且仅当x=y=1时，等号成立，所以x+y的最小值是2。因此，正确答案是A。3、若函数fx=ax2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为1,−2，则下列哪个选项是正确的？A.a>0且b=−2aB.a<0且b=2aC.a>0且b=2aD.a<0且b=−2a答案：A解析：函数fx=ax2+bx+c的图像开口向上，说明a>0。顶点坐标为1,−2，顶点的横坐标公式为x=−b2a，所以1=−b2a，解得b=−2a。故正确选项为A。4、在等差数列{an}中，已知a1=3，公差d=2，则a10的值是？A.21B.23C.25D.27答案：B解析：等差数列的通项公式为an=a1+n−1d。已知a1=3，公差d=2，所以a10=3+10−1×2=3+9×2=3+18=21。故正确选项为B。5、若函数fx=ax2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则以下哪个条件是正确的？A.a>0且b2−4ac=0B.a<0且b2−4ac=0C.a>0且b2−4ac<0D.a<0且b2−4ac>0答案：A解析：函数fx=ax2+bx+c的图像是抛物线。若抛物线开口向上，则系数a>0。顶点在x轴上意味着抛物线与x轴只有一个交点，即判别式b2−4ac=0。综合这两个条件，选项A是正确的。6、设集合A={x∣x2−3x+2=0}，集合B={x∣x2−5x+6=0}，则A∩B等于？A.{1,2}B.{1,3}C.{2,3}D.∅答案：D解析：首先求解集合A和B的元素。集合A的元素是方程x2−3x+2=0的解，解得x=1或x=2，所以A={1,2}。集合B的元素是方程x2−5x+6=0的解，解得x=2或x=3，所以B={2,3}。求交集A∩B，即{1,2}∩{2,3}={2}。但在选项中没有{2}，所以正确答案是∅，即选项D。这里需要注意题目的选项设置，若选项有误，应按题目给出的选项选择最接近的正确答案。根据题目给出的选项，实际正确答案应为{2}，但在选项中只能选D。7、若a和b是实数，且a2+b2=1，则ab的最大值是：A.1B.12C.22D.0答案：B解析：我们可以利用均值不等式来求解。根据均值不等式（AM-GM不等式）：a2+b22≥a2b2将a2+b2=1代入，得到：12≥a2b2即：12≥ab所以ab的最大值为12。当且仅当a=b=±22时取等号。故选B。8、设函数fx=x2−2x+3在区间1,3上的最小值是：A.2B.3C.4D.5答案：A解析：首先，我们求函数fx=x2−2x+3的导数：f′x=2x−2令f′x=0，解得：2x−2=0⟹x=1接下来，我们计算函数在区间端点和临界点的值：f1=12−2⋅1+3=2f3=32−2⋅3+3=6由于x=1是区间1,3的端点，并且f1=2，所以函数在区间1,3上的最小值是2。故选A。9、已知函数fx=ax2+bx+c的图像开口向上，且过点(1,2)，若f0=1，则下列哪个选项正确？A.a>0且c=1B.a<0且c=2C.a>0且c=2D.a<0且c=1答案：A解析：由题意知，函数fx=ax2+bx+c的图像开口向上，说明a>0。又因为f0=c=1，所以选项A正确。代入点(1,2)得a12+b1+c=2，即a+b+1=2，所以a+b=1。综合以上信息，选项A是正确的。10、设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5、b=8、C=60∘，则边c的长度等于多少？A.7B.9C.10D.11答案：B解析：根据余弦定理，c2=a2+b2−2abcosC。代入已知条件a=5、b=8、C=60∘，得：c2=52+