第20卷第1期大学数学Vol.20,№.12004年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb.2004求逆矩阵的快速方法王建锋(河海大学理学院,南京210098)[摘要]介绍了求逆矩阵的快速方法,先对矩阵作QR分解,再利用三角形矩阵求逆的迭代算法,得到了求逆矩阵的快速方法.[关键词]逆矩阵;QR分解;快速方法[中图分类号]O151121[文献标识码]C[文章编号]167221454(2004)01201212021引言A3求逆矩阵的方法通常有2种.一种是行列式方法A-1=,A3为A的伴随矩阵.当A的阶数n≥4ûAû初等行变换时,该种方法计算量将会很大.另一种称为Jacobi方法,将(A,E)(E,A-1).这种方法计算量小些.但由于没有现成的计算公式,编程比较困难,不易在计算机上实现.有没有一种方法既能保证计算量小,又易于编程实现呢?本文讨论的就是这个问题.2主要结论×定理1假设A∈Cnn可逆,则A可以分解为A=QR,其中Q为酉阵,即Q·QH=E,R是上三角阵.-1定理2假设R=(Rij)n×n是上三角阵,Rij=0,当i>j时,并且Rii≠0,1≤i≤n,则R=(Rij)n×n可通过以下算法得出:-1(i)Rij=0,当i>j时,即R也是上三角阵;-1(ii)Rkk=Rkk(1≤k≤n);m(iii)Rk,k+m=-∑Rk,k+j·Rk+j,k+möRkk(1≤m≤n-1,1≤k≤n-m).j=1定理3假设A可逆,且A=QR,其中Q是酉阵,则A-1=R-1·QH,QH是Q的共轭转置.3定理的证明及小结定理1之证明将A按列向量分块:A=(A1,A2,⋯,An).由于A可逆,所以A1,A2,⋯,An线性无关.用Schmidt方法将Ai正交化,得B1,B2,⋯,Bn,再单位化得v1,v2,⋯,vn,且可得iAi=∑cijvj,1≤i≤n,j=1[Bj,Ai]其中cij=,j=1,2,⋯,i-1,[Bj,Ai]表示Bj与Ai的内积.‖Bj‖Bjcii=‖Bi‖,vj=,1≤i≤n,1≤j≤i,‖Bj‖[收稿日期]2002211222122大学数学第20卷A=(A1,A2,⋯,An)=(c11v1,c21v1+c22v2,⋯,cn1v1+cn2v2+⋯+cnnvn).于是c11c21⋯cn1c22⋯cn2A=(v1,v2,⋯,vn)·=Q·R.wcnn-1定理2之证明(i)由于R是上三角阵,所以当i>j时,Rij=0.又因为R·R=E=(Eij)n×n,其中Eii=1,Eij=0,当i≠j时.n所以当i>1时,0=Ei1=∑Rik·Rk1=Ri1·R11.k=1n因为R11≠0,所以Ri1=0,当i>1时.再由当i>2时,0=Ei2=∑Rik·Rk2=Ri2·R22,因为R22≠0,k=1-1所以Ri2=0,当i>2时.即R也是上三角阵.n一般地,当i>j时,由Ri1=Ri2=⋯Rij-1=0,以及Eij=0=∑Rik·Rkj=Rij·Rjj,因为Rjj≠0,所以k=1Rij=0,当i>j时.n(ii)因为Ekk=1=∑Rkj·Rjk,由(i)可知当k>j时,Rkj=0,以及当j>k时,Rjk=0,于是1=Rkk·j=1-1Rkk,即Rkk=Rkk(1≤k≤n).(iii)由nmmEk,k+m=0=∑Rki·Ri,k+m=∑Rk,k+j·Rk+j,k+m=Rkk·Rk,k+m+∑Rk,k+j·Rk+j,k+m,i=1j=0j=1所以mRk,k+m=-∑Rk,k+j·Rk+j,k+möRkk(1≤m≤n-1;1≤k≤n-m).j=1定理3显然成立.由上述3个定理可以得到求逆矩阵的一种方法:11对可逆矩阵A作QR分解:A=QR;21利用定理2求上三角阵R的逆矩阵R-1;31求出A的逆矩阵:A-1=R-1QH.由于上面的3个步骤都有确定的计算公式,所以易于编程实现.而且相对于通常的两种求逆矩阵的方法.它的计算量要小得多,因此它是一种求逆矩阵的快速方法.[参考文献][1]史荣昌.矩阵分析[M].北京:北京理工大学出版社,1995.[2]杨克劭,包学游.矩阵分析[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1995.[3]北京大学数学力学系几何与代数教研室.高等代数[M].北京:人民教育出版社,1978.FastCaculationfortheConverseMatrixWANGJian2feng(CollegeofScience,HehaiUniversity,Nanjing210098,China)Abstr