第一次作业：练习一之1、2、3题1.1离散随机变量X由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。411117解：E[X]xP(Xx)01230.875ii24888i1471717171D[X](xE[X])2P(0)2(1)2(2)2(3)2ii82848888i1711.109641.2设连续随机变量X的概率分布函数为0x0πF(x)0.5Αsin[(x1)]0x221x2求（1）系数A；（2）X取值在（0.5，1）内的概率P(0.5x1)。π解：dF(x)Acos[(x1)]0x2f(x)22dx0其他由f(x)dx1ππ2得Acos[(x1)]dxAsin[(x1)]2A22201A2112P(0.5x1)F(1)F(0.5)sin[(11)]sin[(0.51)]0.35222241.3试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。x（1）1e2x0F(x)0x00x0（2）F(x)Αx20x11x1x（3）F(x)[u(x)u(xa)]a0axax（4）F(x)u(x)u(xa)a0aax解：（1）1e2x0F(x)0x0当x0时，对于xx，有F(x)F(x)，F(x)是单调2121非减函数；0F(x)1成立；也成立。F(x)F(x)所以，F(x)是连续随机变量的概率分布函数。x1求得，dF(x)e2x0f(x)dx20x00x0（2）F(x)Αx20x11x1在A>0时，对于xx，有F(x)F(x)，F(x)是单调非减函数；2121欲使和成立，必须使。0F(x)1F(x)F(x)A=1所以，在A=1时，F(x)是连续随机变量的概率分布函数。同理，dF(x)2Ax1x0f(x)dx0x0欲满足f(x)dx1，也必须使A=1。所以，2x1x0f(x)0x0x（3）F(x)[u(x)u(xa)]a0ax上式可改写为[u(x)u(xa)]0xaF(x)aa00其他对于xax，F(x)F(x)不成立。2121所以，F(x)不是连续随机变量的概率分布函数。xax（4）F(x)u(x)u(xa)a0aax[u(x)u(xa)]u(xa)a0a0x01x0xaa0a2x1axa当ax时，不满足0F(x)1，所以F(x)不是连续随机变量的概率分布函数。第二次作业：练习一之4、5、6、7题1.4随机变量X在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。解：因X在[α，β]上均匀分布1下f(x)0其他xE[X]xf(x)dxdx2-x21E[X2]x2f(x)dxdx(222)3-1D[X](xE[X])2f(x)dxE[X2](E[X])2()212-1.5设随机变量X的概率密度为10x1，求f(x)X0其他Y=5X+1的概率密度函数。解：反函数X=h(y)=(Y-1)/5h′(y)=1/51≤y≤6f(y)=f(h(y))｜hy)∣=1×1/5=1/5YX′(于是有1/51y6f(y)Y0其他1.6设随机变量X,X,,X在[a,b]上均匀分布，且互相独立。12nn若YX,求i（i11）n=2时，随机变量Y的概率密度。（2）n=3时，随机变量Y的概率密度。1axbba解：f(x)i1,2,,nii0其它n=2时，f(y)f(y)f(y)YXX12f(y)f(x)f(yx)dxYX1X1112b11dx积分上下限选错了，此题答案有误baba1