行列式矩阵n维向量空间线性方程组相似矩阵第一章行列式用消元法解二元线性方程组方程组的解为为便于记忆，引入记号主对角线则二元线性方程组的解为例１三阶行列式的计算:2、n阶行列式的定义在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，余下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作定义3：设例2：计算行列式例3：计算下列行列式二、行列式的性质说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．注：关于代数余子式的重要性质性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.解性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．1、行列式与其转置行列式的值相等;例5例6计算阶行列式证n-1阶范德蒙德行列式例8计算n+1阶行列式例9计算n阶行列式第三节Cramer法则设线性方程组二、Cramer法则其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即齐次线性方程组的相关定理定理1.4若齐次线性方程组例12解线性方程组用Cramer法则解方程组的两个条件第二章矩阵线性方程组对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.定义2.1由数域F上mn个数aij,(i=1,2,…,m;用大写字母A，B，C，…，表示矩阵。为了标明矩阵的行数m和列数n,可用Am×n或A=(aij)m×n表示,其中aij称为矩阵的元素。矩阵与行列式有何区别?同型矩阵与矩阵相等的概念三、几种特殊矩阵(2)零矩阵若一个矩阵的所有元都为零，则称这个矩阵为零矩阵，mn零矩阵记为Ｏmn，在不会引起混淆的情况下，也可记为Ｏ．(4)对角矩阵主对角线上的元不全为零，其余的元全都为零的n阶方阵称为对角矩阵，如(5)三角矩阵主对角线下(上)方的元全为零的方阵称为上(下)三角矩阵，例如(6)数量矩阵主对角线上的元等于同一个数的对角矩阵称为数量矩阵.(7)单位矩阵主对角线上的元素全为1，其余元素都为零的n阶方阵称为n阶单位矩阵,简记为I.如定义2.2设A,B都是m行n列矩阵,把它们对应位置上的元素相加得到的m×n矩阵,称为矩阵A与B的和(矩阵),记为A+B即注:不是任意两个矩阵都能相加.只有同型的矩阵,才可以相加。定义2.3以数k乘矩阵A的每个元素得到的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，记作kA=k(aij)nm=(kaij)nm.即矩阵的加法与数乘称为矩阵的线性运算，它满足下列运算规律设A,B为同型矩阵,k,l为常数,则：且定义2.4三个步骤：例2设定义了矩阵的乘法运算后,对于线性方程组矩阵乘法的运算律：注：1.矩阵乘法不满足交换律，即：设A为方阵，n为正整数，定义：设A，B均为n阶方阵，一般地方阵A的m次多项式方阵的行列式例3:设2.2.3矩阵的转置转置矩阵的运算性质对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等.反称矩阵的特点是:主对角线上的元素为0,其余的元素关于主对角线互为相反数.例4对任意矩阵A,ATA为对称阵.第三节可逆矩阵一、概念的引入2.3.1逆矩阵的定义定义2.9定理2.2n阶方阵A可逆的充分必条件是A0，且当A可逆时，A的逆矩阵为故AA*=|A|I，例1设例2结论：若对角阵主对角线上元素均不为零，则对角阵可逆，其逆就是主对角线上的元素换成各自的倒数而得的矩阵。注：A、B必须为同阶方阵。因为存在不是方阵的A、B可以满足AB=I或BA=I。例如例4逆矩阵的运算性质例5解因Ax=A+2x,故(A2I)x=A,例7设于是结论：(1)若A为可逆矩阵，则第四节分块矩阵2.4.1矩阵的分块即2.4.2分块矩阵的运算2.数乘运算:设为常数,矩阵A分块为3.分块矩阵的转置4.分块矩阵的乘法运算注：在分块矩阵的乘法中，不仅要使分块矩阵可乘，还要使对应的子块可乘，这就要求对A的列的分法与对B的行的分法相同。例1设则又分块对角矩阵：当n阶方阵A中非零元都集中在主对角线附近时，可将A分块成下面的分块对角矩阵(又称准对角矩阵).例25.分块对角矩阵的运算其中Aii与Bii是同阶方阵，则(3)分块对角矩阵的逆：设例3设第五节初等变换与初等矩阵定义2.10设A=(aij)mn,则以下三种变换称为矩阵A的初等行变换：1)交换矩阵A的第i行与第j行的位置,记为rirj；2)以非零数k乘A的第i行,记为kri;把A的第j行元素的k倍加到第i行上，记为ri+krj。k行定义2.11满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵：1)非零行(元素不全为零的行)中第一个非零元前面零的个数逐行增加；2)一旦出现零行，则后面各行(若还有的话)都是零行。对行阶梯形矩阵进一