西安建筑科技大学研究生试卷考试科目：数理统计考试时间：2011年12月27日14时30分——16时30分考试方式：闭卷学号：姓名：成绩11nn符号说明：X==−XS,()*2XX2。nn∑∑ii==11ii−1一．填空题(每空2分，共20分)1．若X∼tn()，则X2∼_F(1,n)____，1/X2∼__F(n,1)_____；若YN∼(0,1)，ZN∼(0,1)，且Y与Z相互独立，则YZ/∼__t(1)______。CX(22+++X...X2)是总体2的一个简单随机样本，127。若2.X12,XX,...,21XN∼(0,σ)Y=222Y(XX89+++...X21)服从F分布，则常数C=__2_______，第一、二自由度分别为__7,14_______。223.X12,XX,...,n是总体XN∼(,μσ)的一个简单随机样本，则μ的矩估计量为X，σ的1n矩估计量为SX22=−()X。n∑i=1i4.在重复试验二元方差分析中，组合水平Ai×Bj对应的正态总体的均值为μij，设μ=μ+α+β+γijijij，则αi表示__因子A在水平Ai的效应，γij表示_因子A、B在组合水平Ai×Bj的交互作用___。5.在一元线性回归中，1⎡⎤nn22ˆ22∼2。QYmin/()()σ=2⎢⎥∑∑ii−Yx−β−x____χ(2)n−__________σ⎣⎦ii==11二．判断题(每题2分，共8分)n1.总体XN∼(,μσ2)，SX22=−μ()/n，则nX()/(−μS∼tn)。(×)∑i=1i2.若参数θ的估计量θ满足：Dθ等于罗-克拉美下界，则称θ为θ的优效估计。(×)3.在假设检验中，若样本容量固定，则当犯第一类错误的概率增加时，犯第二类错误的概率也随之增加。(×)4.在一元线性回归模型YxN=α+β+ε,(0,ε∼σ2)中，估计量σ与β相互独立。(√)2*22三(10分)设X12,XX,...,n是总体X的一个简单随机样本，EX=μ，DX=σ，试证S是σ的无偏估计。σ2证明:EX=μ…………………（1分）DX=…………………………………（3分）nσ2EX22=+DX()EX=σ+μ22……（4分）EX22=DX+=+()EXμ2…………（6分）iiin11nnnSXXX*2=−+=22nXX22−nX2………………………（8分）nn−−11(∑∑ii==11ii)(∑i=1i)2*211n22⎛⎞22σ22ES=−=μEXnEXn()()+σ−+nμ=σ…………（10分）(∑i=1i)⎜⎟nnn−−11⎝⎠四(10分)来自总体X∼Bp(5,)的样本观测值分别为2,0,3,2,3,1,4,2,5,1，求参数p的极大似然估计值。kk5−k解：X的分布律为PX{==k}Cp5(1−p),k=0,1,...,5……………………………（3分）似然函数为5142233324412325Lp()=−−−−−()()()(1p)Cp55(1p)Cp(1p)(Cp5(1p))(Cp5(1p))(p)……（6分）123223423272327=−()()()CCCCpp5555(1)=cpp(1−)232其中，1234。对数似然函数为（分）cC=()()()555CCC5lnL(pc)=ln++−23lnp27ln(1p)…8dLpln()2327令=−=0，得p的极大似然估计值为p=0.46…………（10分）dpp1−p⎛⎞021五(10分)总体X∼⎜⎟，X是不是p的优效估计？⎝⎠1−pp2解：∵EXpEXpDXEXEXpp===−=2,224,()24(1)−……………………………（1分）4(1)pp−∴EX==2,pDX……………………………（2分）n⎛⎞11(⎛⎞pp1−)EX⎜⎟==pDX,⎜⎟……………………………（4分）⎝⎠22⎝⎠n222⎛⎞⎛⎞∂∂lnPx()ln(1−∂−p)⎛⎞lnp(1p)p1（.8分）∑⎜⎟⎜⎟Px()=−(1p)+=+⎜⎟p22=x=0,2⎝⎠⎝⎠∂∂∂ppp⎝⎠(1−pp)p(1−p)pp(1−)⎛1⎞罗-克拉美下界IR==DX⎜⎟。……………………………………………（10分）n⎝⎠21所以，X是p的优效估计。22六(10分)X12,XX,...,n为总体XN∼(,μσ)的一个简单随机样本，总体方差已知，请推导出μ的置信概率为1−α的双侧置信区间。XnX−μ()−μ解：构造随机变量U==∼N(0,1)……………………………（4