矩阵理论第一二章典型例题（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）《矩阵理论》第一二章典型例题一、判断题1．,(2．设是矩阵A的特征值，则.(3.如果，且，,则.(4.若设，则.(5.设的奇异值为，则.(6.设，且有某种算子范数，使得，则,其中E为n阶单位矩阵.(7.设(其中，E为n阶单位矩阵，，则(8.设为正规矩阵，则矩阵的谱半径.(9.设可逆，，若对算子范数有，则可逆.(10.设A为矩阵，P为m阶酉矩阵,则PA与A有相同的奇异值.(11.设，且A的所有列和都相等，则.(12.如果，则是向量范数.(13.设则矩阵范数与向量的1-范数相容.(14、设是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有,其中为单位矩阵.(二、设，，证明:(1为矩阵范数;(2为与向量2-范数相容.三、试证：如果A为n阶正规矩阵，且和，其中，，那么x与y正交.四、(1设为严格对角占优矩阵，，其中为A的对角元，E为n阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数使得.(2设,为任意给定的正数，为矩阵的谱半径。证明：至少存在一个矩阵范数使得五．设矩阵U是酉矩阵,,证明:的所有特征值满足不等式.六.设是上的相容的矩阵范数,矩阵都是n阶可逆矩阵,且及都小于或等于1,证明:对任意矩阵定义了上的一个相容的矩阵范数.七．设是可逆矩阵,是的一个特征值,对于任意的算子范数,证明.八.设是Hermite矩阵，且的特征值，证明矩阵的Rayleigh商恒等于.九．已知中的两种矩阵算子范数与,对于任意矩阵,验证是中的相容矩阵范数.十．设矩阵的非零奇异值为(,求证十一.设矩阵可逆,矩阵范数是上的向量范数诱导出的算子范数,令,证明:.证明:根据算子范数的定义,有,,结论成立.十二.设矩阵为单纯矩阵,证明:的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵,使得为Hermite矩阵.十三.(1设矩阵,则是矩阵范数.(2设,矩阵，求.*§2.5矩阵在决策理论中的应用所谓决策，就是根据预定目标，作出行动的选择.从狭义上解释，决策是在若干个指导行动的方案中作出相对最优的选择.科学的决策必须严格实行科学的决策程序，运用科学的思维方法与决策方法.决策可利用的数学方法很多，这里我们只介绍矩阵在决策中的简单应用.决策者为了达到所希望的目标（例如收益较大或损失较小等），可以采用多种行动方案.许多决策问题都面临着若干种不依决策者主观意志为转移的客观条件或客观现实，我们称为自然状态.例如，投资者将一笔资金投入生产时，有明确的目标，即要使得收益最大.投资者可以采取的方案也有多种，例如投资房地产，投资汽车生产，投资家用计算机生产，投资彩电生产，等等.上述方案即为投资者的行动方案，投资者将在上述方案中选择一种能使收益最大的投资方案.然而不管投资者选择何种方案，将来的产品销售及市场行情都有可能出现好、一般、不好三种情形，这三种情形即为投资者所面临的不依投资者主观意志为转移的自然状态.设决策者可以选择的行动方案的集合为{A1,A2,…,Am}，所有的自然状态构成的集合为{1,2,…,n}，再设决策者采用行动方案Ai，而自然状态是j时，决策者的益损（收益或损失）值为aij，则可以列出下表：自然状态益损值行动方案12…nA1a11a12…a1nA2a21a22…a2n…………Amam1am2…amn我们可以把上述益损值写成如下的矩阵形式：12…n称此矩阵为益损矩阵（或风险矩阵），记为B或Bmn当n＝1时，即自然状态只有一种，这时的决策问题比较简单，称之为确定型决策.决策者只需根据决策的目标（例如收益最大或损失最小）而选择a11,a21,…,am1中的最大者或最小者所对应的行动方案.当B是收益矩阵时，选择最大数对应的行动方案，当B是损失矩阵时，选择最小数对应的行动方案.当n>1时，需要知道自然状态1,2,…,n出现的可能性（即出现的概率），我们用百分比表示这些可能性.设1,2,…,n出现的可能性分别是p1，p2,…,pn.则易知p1+p2+…+pn＝1.在实际进行决策时，有时会出现某种自然状态j发生的可能性很大（接近百分之百）的情形，此时我们可以认定自然状态j一定出现，其它自然状态一定不出现，从而变为确定型决策问题，可按照上述确定型的决策方法进行决策.假设任何一种自然状态没有绝对的把握一定出现，这种决策称为风险型决策.我们可以利用矩阵的乘法进行决策.如果采取行动A1，那么益损期望值（即加权平均数）为E(A1)＝a11p1+a12p2+…+a1npn.同样如果采取行动Ai，那么益损期望值为E(Ai)＝ai1p1+ai2p2+…+ainpn.一般地，记P＝