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2011年考研数学《概率统计》讲义第五讲1.doc 立即下载
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随机事件与概率一、随机试验与随机事件1、随机试验―2、样本空间―随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合,称为随机试验的样本空间。3、随即事件―样本空间的子集称为随机事件。二、事件之间的关系与事件的运算(一)事件的运算与关系1、事件的积―事件A和事件B都发生,称为事件A和事件B的积,记AB;2、事件的和―事件A或者事件B发生,称为事件A和事件B的和,记A+B;3、事件的差―事件A发生而事件B不发生,称事件A与事件B的差,记A-B;4、包含―若事件A发生则事件B一定发生,称A包含于B,记AB。若AB且BA,则称两事件相等,记A=B;5、互斥(不相容)事件―若事件A和事件B不能同时发生,即AB=,称事件A和事件B不相容;6、对立事件―若AB=,A+B=,称事件A和事件B为对立事件。(二)事件运算的性质:1、(1);(2);2、(1);(2);3、(1);(2);(3)。4、(1);(2)。三、概率的定义与性质(一)概率的定义―设随机试验的样本空间为,满足如下条件的随机事件的函数称为所对应事件的概率:(1)对事件,有(非负性);(2)(归一性);(3)设为一列互不相容的随机事件,则有(可列可加性)。(二)性质1、;2、设为互不相容的有限个随机事件列,则;3、。四、概率公式1、加法公式:,特别地,若,则;2、减法公式:,特别地,若,则;3、条件概率公式:设是两个事件,且,则;4、乘法公式:设,则,更一般地,。五、事件的独立性1、两个事件的独立―设是两个事件,若,称事件相互独立。2、三个事件的独立―设是三个事件,若,称事件相互独立。注解:相互独立的充分必要条件是任何一对相互独立。六、全概率公式与Bayes公式1、完备事件组―设事件组满足:(1);(2),则称事件组为一个完备事件组。2、全概率公式:设是一个完备事件组,且,为事件,则。3、贝叶斯公式:设为一个完备事件组,且,为任一随机事件,,则。七、三种重要的概率类型1、古典概型―若随机试验满足如下两个条件:(1)样本空间中只有有限个样本点;(2)样本空间中每个样本点发生是等可能的,这样的随机试验称为古典概型。设为任一随机事件,则。2、几何概型―若样本空间为欧氏空间,且所有样本点等可能出现,该随机试验称为几何概型,设为随机事件,则。3、贝努利概型―若随机试验只有两个可能的结果,且每次试验的可能结果与可能结果的概率保持不变,这样的试验称为贝努利试验。设,则次试验中事件发生次的概率为。例题选讲一、填空题:1、设,(1)若不相容,则;(2)若相互独立,则。2、设,则事件全不发生的概率为。3、设两两相互独立的事件满足:,且有,则。4、设事件满足,且,则。5、设为两个相互独立的随机事件,且都不发生的概率为,发生不发生的概率与不发生发生的概率相等,则。二、选择题:1、设是两个随机事件,且,则[];;;。2、设事件满足,且,则[]事件对立;事件相互独立;事件不相互独立;事件不相容。三、解答题1、一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取2次,每次抽取一个,抽取后不放回,求第二次抽取的是次品的的概率。2、设工厂与工厂的次品率分别为1%和2%,现从由和生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品是生产的概率。3、设事件在每次试验中的概率为,三次独立重复试验中事件至少出现一次的概率为,求事件发生的概率。4、甲乙两人独立对同一目标射击一次,命中率分别为50%和60%,已知目标被命中,求是甲命中的概率。第二讲一维随机变量及其分布一、基本概念1、随机变量―设,,对任意的,总存在唯一确定的与之对应,称为随机变量,若的可能取值为有限个或可列个,称为离散型随机变量,若在某可区间上连续取值,称为连续型随机变量。2、分布函数―设为一个随机变量,称函数为随机变量的分布函数。注解:分布函数的性质有(1);(2);(3);(4)。3、离散型随机变量的分布律―4、连续型随机变量的密度函数―二、常见离散型随机变量及其分布律1、(0―1)分布―2、二项分布―3、Poisson分布―4、几何分布三、常见的连续型随机变量及其分布密度1、均匀分布―若随机变量的密度函数为,称随机变量服从均匀分布,记为,其分布函数为。2、正态分布―若随机变量的密度函数为,称随机变量服从正态分布,记为,特别地,若,称随机变量服从标准正态分布,记为,其密度为,其分布函数为。3、指数分布―若随机变量的密度为,称随机变量服从指数分布,记为,其分布函数为。四、随机变量函数的分布例题选讲一、选择题1、设的密度为,分布函数为,下列结论正确的是[]为某随机变量的分布函数;为某随机变量的密度函数;为某随机变量的分布函数;为某随机变量的密度函数。2、设随机变量的密度函数为偶函数,其分布函数为,则[]为偶函数;;;。3、设,令,则[]对任意实数都有;对
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