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2012年全国高中数学竞赛(四川预赛试题及其解答1).doc 立即下载
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2012年全国高中数学联合竞赛(四川初赛试题及答案分析)一、单项选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)1、设集合,,则=()A、B、C、D、2、正方体中与截面所成的角是()A、B、C、D、3、已知,,则“”是“在上恒成立”的()A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、设正三角形的面积为,作的内切圆,再作内切圆的内接正三角形,设为,面积为,如此下去作一系列的正三角形,其面积相应为,设,,则=()A、B、C、D、25、设抛物线的焦点为,顶点为,是抛物线上的动点,则的最大值为()A、B、C、D、6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半径为的一个实心球,此时球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为()A、B、C、D、二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)7、如图,正方形的边长为3,为的中点,与相交于,则的值是.8、的展开式中的常数项是.(用具体数字作答)9、设等比数列的前项和为,满足,则的值为.10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为.11、已知锐角满足,则的最大值是.12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中,任取一个五位数,满足条件“”的概率是.三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)13、设函数,(I)求函数在上的最大值与最小值;(II)若实数使得对任意恒成立,求的值.14、已知,满足,(I)求的最小值;(II)当取最小值时,求的最大值.15、直线与双曲线的左支交于、两点,直线经过点和的中点,求直线在轴的截距的取值范围.16、设函数在上的最大值为().(I)求数列的通项公式;(II)求证:对任何正整数,都有成立;(III)设数列的前项和为,求证:对任意正整数,都有成立参考答案一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)1、C提示:2、A提示:过作⊥于点O,连BO,则∠是所求的角.因为,所以∠=3、A提示:恒成立,即恒成立,于是有,即4、B提示:这样一系列的三角形是相似三角形,相似比为,故面积成等比递缩数列,公比为,于是所以,5、B提示:由条件知,点坐标为,显然,则,当时等号成立,故的最大值为6、D提示:如图为圆锥轴截面,球心为,为可得,设取出球后,水面高为.则因为所以二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)7、提示:故∠=8、提示:由条件知常数项是.9、0提示:由条件知解得。当时,由知,所以,即所以或。因此,是以1为首项,-1为公比的等比数列,所以10、14提示:设且只有三个正约数,则为质数的完全平方,。于是,即。11、提示:因为,因为等号当且仅当时成立。所以,的最大值为。12、提示:显然和中必有1个数字为5,由对称性,不妨设。显然;(1)若则是1,2,3的任意排列都满足,此时共有6种;(2)若则从而是1,2的任意排列都满足,此时共有2种;综上,满足条件的概率是.三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)13、解:(I)由条件知,(5分)由知,,于是,所以时,有最小值;当时,有最大值.(10分)(II)由条件可知,对任意的恒成立,∴∴∴,(15分)由知或。若时,则由知,这与矛盾!若,则(舍去),解得所以,.(20分)14、解:(I)因为(5分),等号成立的条件是,当时,可取最小值2.(10分)(II)当取最小值时,,从而,即,令,则(15分)从而或者(舍去)故在单减,所以在时,有最大值.(20分)15、解:将直线与双曲线方程联立得化简得①(5分)由题设知方程①有两负根,因此,解得.(10分)设,则有,故的中点为,所以直线方程为,其在轴的截距,(15分)当时,,其取值范围是所以的取值范围是.(20分)16、解:(I),当时,由知或者,(5分)当时,,又,,故;当时,,又,,故;当时,,∵时,;时,;∴在处取得最大值,即综上所述,.(10分)(II)当时,欲证,只需证明∵所以,当时,都有成立.(15分)(III)当时,结论显然成立;当时,由(II)知.所以,对任意正整数,都有成立.(20分)
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