第五讲数理统计的基本概念一、大纲解读：（1）考试内容：总体，个体，简单随机样本，统计量，经验分布函数，样本均值，样本方差和样本矩，分布，分布，分布，分位数，正态总体的常用抽样分布.（2）考试要求理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解上侧分位数的概念，会查表.掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布.了解经验分布函数的概念和性质.二、知识要点1、常见的统计量统计量是不含未知参数的样本函数。样本均值；样本方差；样本标准差：样本阶原点矩：样本阶中心矩：必须注意：（1），，；（2）样本方差，不要与样本二阶中心矩混淆.2、重要统计量的基本性质（任意总体）设总体均值、总体方差分别为，对于取自总体的简单随机样本，有：（1），；；（2）；（3）（4）3、统计学三大分布（基于正态总体）(1)分布：是独立的变量，则服从自由度为的分布，记作.①若与独立，则；②；③当n很大时，变量近似服从分布。（2）分布设相互独立，则称服从自由度为的分布，记作()。①()的密度曲线关于纵轴对称；②当时，()密度可用密度近似替代；③若，则；（3）F分布设与独立，则称服从自由度为的分布，记作。①；②4、单、双正态总体的抽样分布（1）单正态总体情形设是取自总体的样本，则①；②；③与独立；④注意：只有在正态总体下，样本均值与样本方差才独立；在正态总体参数的估计理论中，涉及与样本方差有关的抽样分布，其自由度均形如，而不是。（2）双正态总体情形设与分别是取自总体与的独立样本，则①②；③当时，有，其中。5、上侧分位数设的分布函数为，若满足，则称为的上侧分位数（点）。几种常用分布的分位点都可在附表中查到。其中的分位点可由反查函数值表而得。而其它几个分布,则分别对几个常用的值，列出分位点。（1）显然，。（2）若有密度，则与轴在右侧所围面积为。（3）由及密度函数的对称性知：，。（4）6、经验分布函数设是来自总体的简单随机样本，将样本值从小到大排列为定义的经验分布函数如下：是总体分布函数的一种近似。只在，处有跃度为的间断点，若有个观察值相同，则在此观察值处的跃度为。对于固定的，即表示事件在次试验中出现的频率。事实上，只需把各个观测值看做是某个离散型随机变量的所有可能取值，且它取各个值的概率都是，亦即有如下分布……P……则的分布函数就是的基于样本的经验分布函数。经验分布函数的图形：三、综合训练（一）统计量的计算例1设是一组样本观测值，对任意常数，记，.，分别为对应的样本均值与样本方差.（1）证明：；（2）给定一组样本值：2550（2个），2850（3个），3150（8个），3450（5个），3750（2个），利用（1）的结论，求样本均值与样本方差.解（1）证明：（2）利用（1）的结果，对数据做线性变换，则变换后的数据为（2个），（3个），0（8个），1（5个），2（2个），且0.1，，故，.例2设有样本，其样本均值和样本方差分别为,现又获得第个样本,求证：（1）（2）证（1）（2）例3给定一组样本观察值，经计算得，求样本均值和样本方差。例4从一个总体中独立抽取两个简单随机样本与，相应的样本均值分别为与，样本方差分别为与.现在将两个样本合并为一个新样本，记作，(),求此新样本的样本均值与样本方差。解因为则=（二）上侧分位数例1设的上侧分位数为,的上侧分位数为,试求与之间的关系.解，故，即．例2设，对给定的,若,则等于(A)(B)(C)(D)解，则，故，故选（C）.（三）重要统计量的性质例1证明：对任意总体，只要总体方差存在，则.证由于于是.例2从总体中抽取简单随机样本，（），求统计量的数学期望.解，，，故例3设为取自总体的样本，求（1）样本均值的数学期望和方差；（2）样本方差的数学期望；（3）样本均值的绝对值大于0.02的概率.解(1)=(2)由于样本方差是总体方差的无偏估计,故(3)结合由(1)(2)，由中心极限定理，近似服从分布，因此例4设总体的概率密度为为取自总体的简单随机样本，其样本方差为，求.解，例5独立同分布，且方差均为则。例6设总体X服从参数为的泊松分布，为其简单随机样本，对统计量，，有：（A）(B)(C)(D)（四）三大分布例1设从这两个总体中分别抽取独立的样本与，记分别为两个样本均值，为两个样本方差.求证：证由题设知，相互独立，且故进而有由于独立，则例2设为取自总体的样本，求常数使得服从分布，并求其自由度.解因为，所以同理且三者独立，故++