函数（三）【讲解】由a＞0且a≠1知t＝3－ax是减函数，从而lg(3－ax)也是减函数，故只有a＞1时，f(x)才是减函数；另外，x[－1，1]时，要保证3－ax＞0，为此只须考虑最小值：x＝1时,tmin=3－a，要3－a＞0，则a＜3，综上知1＜a＜3．例2如果不等式x2－＜0在区间上恒成立，那么实数a的取值范围是___________．【讲解】设y＝x2①y＝②当a＞1时，函数②在上取负值，因此不可能有x2＜成立．在上函数①的最大值是，在上，当0＜a＜1时，②的最小值是，在上，x2＜恒成立例3.化简(1)(3)原式=解：令121995=a>0则例6.已知函数f(x)=logax(a>0,a≠1,x∈R+)若x1,x2∈R+,试比较例8.对于自然数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w若例9.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3<A<4例10.设f(x)=logax(a>0,a≠1)且证：因为0<a<1，所以ax>0,ay>0由平均值不等式解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y=-x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y=-x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y=-x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标例13已知函数f(x)＝|2x－1－1|,a＜b＜c且f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(A)a＜b，b＜1，c＜1(B)a＜1，b≥1，c＞1(C)2－a＜2c(D)2a＋2c＜4．【解】函数y=2x的图像右移1个单位得y=2x－1，再下移1个单位得y=2x－1－1，再把x轴下方的部分翻折到x轴上方得y=|2x－1－1|，图像如下图由于在上，f(x)是减函数，所以a，b，c不能同时在上；同理，a，b，c也不能同时在上．故必有a＜1且c＞1．从而2a－1＜1，2c－1＞1∴f(a)＝1－2a－1，f(c)＝2c－1－1∵f(a)＞f(c)∴1－2a－1＞2c－1－1∴2a＋2c＜4．故选（D）．例14设mR，关于x的方程(a＞0且a≠1)有几个实根？证明你的结论．【解】设y＝ax，则y＞0，且(y+m)(y2+my+1)=0∴y=－m①或y2+my+1=0②令，则m≤－2(1)当m＜－2时，①有正实根，②有两个不等正实根．∴原方程有三个实根；(2)当m＝－2时，①有正实根，②有一个正实根．∴原方程有两个实根；(3)当－2＜m＜0时，①有正实根，②无实根．∴原方程有一个实根；(4)当m≥0时，①只有负根，而②无实根或实根为负．∴原方程无实根．综上所述，知例15.解方程(1)x+log2(2x-31)=5(2)2lgx×xlg2-2×xlg2-21+lgx+4=0例16.解方程：lg2x-[lgx]-2=0(其中[x]表示不大于实数x的最大整数)当0≤lgx<1时，[lgx]=0，原方程为lg2x=2，解：易知：a>0且a≠1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1所以(1)等价于u>4,即x2+ax+5>4此不等式有无穷多解由f(4)=1知，(2)等价于0≤u≤4，即0≤x2+ax+5≤4从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即Δ=a2-4=0，a=2时，不等式0≤x2+ax+5≤4有唯一解x=-1综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解例19.已知a>0且a≠1，试求使方程又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-∞,-1)U(0,1)解：易知f(x)的定义域为(0,+∞)∵y1=3+在(0,+∞)上是减函数，y2=log2x在(0,+∞)上是增函数，而当y1=y2，即f(x)=log2x(2)(1)×2+(2)消去log2x，得3f(x)=6，f(x)=2又f(4)=2,故f(x)的最大值为2例21.求函数【解】设x＜0，则－x＞0，依题意F(－x)＝af(－x)+bg(－x)+2≤8∵f(x)和g(x)是奇函数∴－af(x)－bg(x)+2≤8∴a·f(x)+bg(x)≥－6∴F(x)＝af(x)+bg(x)+2≥－4．故F(x)在（－∞，0）上有最小值－4．应选（B）．例23求函数的值域．【讲解】和这两项的平方和是常数，而平方之积是二次三项式．据这个特点可以演变出下面多种解法．【解法1】易知定义域为0≤x≤1，0≤x≤1－x2+x的值域是[0，]的值