第四章几何元素间的相对关系本节讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：基本要求一、直线与平面平行几何条件若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。例题1例题2二、平面与平面平行几何条件若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。例题3例题4例题5定理:由于ef∥bd，e′f′∥b′d′，即EF∥BD，且BD是ABC平面上的一直线，所以，直线EF平行于ABC平面。例过已知点k，作一条水平线平行于△ABC平面。例如图所示，过点C作平面平行于已知直线AB。二、平面与平面平行例过K点作一平面，是其与平面ABC平行例判别△ABC与△DEF是否平行？[例题3]试判断两平面是否平行[例题4]已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。[例题5]试判断两平面是否平行。用迹线表示两平面平行4.2直线与平面的交点、两平面的交线一、直线与平面相交只有一个交点二、平面与平面相交三、直线与平面相交1、直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。2、特殊位置直线与平面相交k3、一般位置直线与一般位置平面相交1A1Cf直线EF与平面ΔABC相交，判别可见性示意图四、平面和平面相交1、直接法判断平面的可见性两平面之一具有积聚性求交线例4求一般位置平面ABC与铅垂面DEF的交线作图步骤：2用辅助平面求交线用辅助平面求交点例：已知直线CD、EF、GH，要求作一条直线AB平行于CD，且与EF、DH相交。用辅助平面求交线用辅助面三面共点法求交线两迹线平面相交一般位置平面和水平面相交当两个平面在图纸区域不相交时4.3几何元素的垂直问题1、若直角中有一边平行于某一投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。2、反之，若一直角的投影仍是直角，则被投影的角至少有一边平行于该投影面。二、直线与平面垂直定理1若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。定理2（逆）若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。[例题7]平面由BDF给定，试过定点K作平面的法线。h[例题9]平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。[例题11]试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60°，与H面的夹角为45°。分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为余角直径任取例：求C点到直线AB的距离。四、平面与平面垂直绘制相互垂直平面的两种方法：g[例题13]试判断ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。[例题14]试过定点A作直线与已知直线EF正交。E作图4.4平面上的最大斜度线P（1）平面上对水平投影面的最大斜度线EF（2）平面上对正面投影面的最大斜度线CD（3）平面上对侧面投影面的最大斜度线MN[例题1]求作ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。[例题2]求ABC平面与水平投影面的夹角。ab[例题4]已知直线EF为某平面对H面的最大斜度线，试作出该平面。4.4平面上的最大斜度线最大斜度线必定垂直于平面上对该投影面的平行线，最大斜度线在该投影面上的投影必定垂直于平面上该投影面平行线的同面投影。2.6点、线、面综合问题的解题示例