§2.3指数与指数函数一、根式的性质 = ( )n=④a(注意a必须使 有意义).二、有理数指数幂1.分数指数幂的表示(1)正数的正分数指数幂: =⑤ (a>0,m,n∈N*,n>1).(2)正数的负分数指数幂: =⑥ =⑦ (a>0,m,n∈N*,n>1).(3)0的正分数指数幂是⑧0,0的⑨负分数指数幂无意义.2.有理数指数幂的运算性质(1)aras=⑩ar+s(a>0,r,s∈Q).(2)(ar)s= ars(a>0,r,s∈Q).(3)(ab)r= arbr(a>0,b>0,r∈Q).三、指数函数1.指数函数的图象与性质2.若四个指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置如图所示,则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小.(无论在y轴的左侧还是右侧,底数都按逆时针方向变大)指数函数的图象及其应用1.对于指数型复合函数图象的问题,一般从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.2.关于两种不同类型的函数所对应的零点与方程问题,可利用其图象解决.3.特别注意底数a>1与0<a<1两种不同情况. 指数函数的性质及其应用1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(1)函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同;(2)先确定f(x)的值域,再根据指数函数的性质确定y=af(x)的值域.2.与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤(1)求复合函数的定义域;(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的;(3)分层逐一求解函数的单调区间;(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).3.对于含ax,a2x的表达式,通常可以令t=ax进行换元,但一定要注意新元的范围.例2(2016江苏南通四校期中)设函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.(1)若f(1)>0,试求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;(2)若f(1)= ,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求g(x)在[1,+∞)上的最小值.解析因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,所以k-1=0,即k=1,f(x)=ax-a-x,符合题意.(1)因为f(1)>0,所以a- >0,又a>0且a≠1,所以a>1.因为f'(x)=axlna+a-xlna=(ax+a-x)lna>0,所以f(x)在R上为增函数,易知原不等式可化为f(x2+2x)>f(4-x),所以x2+2x>4-x,即x2+3x-4>0,所以x>1或x<-4.所以不等式的解集为{x|x>1或x<-4}.(2)因为f(1)= ,所以a- = ,即2a2-3a-2=0,所以a=2或a=- (舍去).所以g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2.令t=2x-2-x(x≥1),则易知t≥ ,所以g(x)=ω(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2,t∈ .所以当t=2时,ω(t)min=-2,此时x=log2(1+ )>1.即g(x)在[1,+∞)上的最小值为-2.