小学奥数教程不定方程与不定方程组教师版全国通用小学奥数教程不定方程与不定方程组教师版全国通用小学奥数教程不定方程与不定方程组教师版全国通用不定方程与不定方程组教学目标1、利用整除及奇偶性解不定方程２、不定方程得试值技巧3、学会解不定方程得经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老得分支之一、古希腊得丢番图早在公元世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程、中国是研究不定方程最早得国家，公元初得五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元世纪得《张丘建算经》中得百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究、宋代数学家秦九韶得大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来、考点说明在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题得形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题得重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中、在以后初高中数学得进一步学习中,不定方程也同样有着重要得地位，所以本讲得着重目得是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后得学习中使用这个工具解题。二、不定方程基本定义1、定义：不定方程(组）是指未知数得个数多于方程个数得方程(组)。2、不定方程得解：使不定方程等号两端相等得未知数得值叫不定方程得解,不定方程得解不唯一。３、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解;②有解时确定解得个数；③求出所有得解三、不定方程得试值技巧1、奇偶性2、整除得特点（能被2、3、5等数字整除得特性）3、余数性质得应用（和、差、积得性质及同余得性质）例题精讲模块一、利用整除性质解不定方程求方程2ｘ－3y=8得整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答方法一:由原方程,易得2ｘ=8＋3ｙ,x=４+ｙ,因此,对y得任意一个值，都有一个ｘ与之对应，并且，此时x与y得值必定满足原方程，故这样得x与ｙ是原方程得一组解,即原方程得解可表为:,其中k为任意数、说明由y取值得任意性,可知上述不定方程有无穷多组解、方法二:根据奇偶性知道２ｘ是偶数，８为偶数,所以若想2x－３y＝8成立,ｙ必为偶数,当y＝0,x＝4;当y=2,x＝7；当y=４,ｘ＝10……,本题有无穷多个解。【答案】无穷多个解求方程2ｘ＋６ｙ=9得整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答因为2x+6y＝２(x＋3ｙ),所以,不论x和y取何整数，都有2|2x+6y，但２９，因此，不论x和ｙ取什么整数,2x+6y都不可能等于9,即原方程无整数解、说明：此题告诉我们并非所有得二元一次方程都有整数解。【答案】无整数解求方程4x+１0y＝３4得正整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答因为4与10得最大公约数为２,而２|34,两边约去２后，得2ｘ＋5y=１7，５y得个位是０或５两种情况,2x是偶数,要想和为17,5y得个位只能是５,y为奇数即可;２x得个位为２，所以x得取值为1、6、11、1６……x=1时,1７-2x＝15，y＝3,ｘ＝６时,17-２ｘ＝5，y＝1,ｘ=11时，1７－2x＝1７－22，无解所以方程有两组整数解为：【答案】求方程３x＋5y=12得整数解【考点】不定方程【难度】２星【题型】解答由3x+５y＝１2，３x是3得倍数,要想和为1２（3得倍数），5y也为3得倍数，所以y为３得倍数即可,所以y得取值为0、3、６、9、1２……y=0时,12－5y=１2,ｘ=4,x＝3时,12－5y＝12-15，无解所以方程得解为：【答案】解不定方程：(其中ｘ，y均为正整数)【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答方法一:2x是偶数,要想和为40(偶数），9y也为偶数，即ｙ为偶数,也可以化简方程，知道y为偶数,所以方程解为:【答案】模块二、利用余数性质解不定方程求不定方程得正整数解有多少组？【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答本题无论或是,情况都较多，故不可能逐一试验、检验可知128８是7得倍数,所以也是7得倍数，则是７得倍数、设，原方程可变为，可以为1,2，３，……16、由于每一个得值都确定了原方程得一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解、【答案】１6组求方程3ｘ＋5y=31得整数解【考点】不定方程【难度】３星【题型】解答方法一：利用欧拉分离法，由原方程,得x＝，即ｘ=1０-２y＋,要使方程有整数解必须为整数、取y=2，得x＝１０－2y+=1０－４+1=7,故ｘ=７,ｙ=２当ｙ=5，得ｘ＝10-２ｙ+=10－1０+２=2，故x＝2，ｙ＝５当y=８,得x=10－2y＋＝10-16+3无解所以方程得解为:方法二：利用余数得性质３x是3得倍数，和３1除以3余１，所以5y除以3余1(２y除以3余１)，根据这个情况用余数得和与乘积