速度运动学-雅可比矩阵（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）第4章速度运动学——雅可比矩阵在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。1.角速度：固定转轴情形kθω=（k是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ是角度θ对时间的倒数）2.反对称矩阵一个nn⨯的矩阵S被称为反对称矩阵，当且仅当0=+SST,我们用3(so表示所有33⨯反对称矩阵组成的集合。如果3(soS∈，反对称矩阵满足0=+jiijss3,2,1,=ji，所以iiS=0，S仅包含三个独立项，并且每个33⨯的反对称矩阵具有下述形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000121323ssssssS如果Tzyxaaaa,,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵(aS定义为如下形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000(xyxzyzaaaaaaaS反对称矩阵的性质1）(((bSaSbaSβαβα+=+向量a、b属于3R，α、β为标量2）papaS⨯=(向量a、b属于3R，pa⨯表示向量叉乘3）((RaSRaRST=，左侧表示矩阵(aS的一个相似变换，这个公式表明：(aS在坐标系中经过R旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵(aSR相同，其中(aSR对应于向量a被转过R这种情形。4）对于一个nn⨯的反对称矩阵S,以及任何一个向量nRX∈，有0=SXXT旋转矩阵的导数(θθSRRdd=公式表明：计算旋转矩阵的R的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S的矩阵乘法操作。3.角速度：一般情况((((tRtwStR=，其中，矩阵((twS是反对称矩阵，向量(tw为t时刻旋转坐标系相对于固定坐标系上的点p。4.角速度求和假定我们有112021...-=nnnRRRR，则00,00(nnnRSRω=，其中0,104,303,202,101,01,10134,30323,20212,10101,00,0......nnnnnnnRRRR----+++++=+++++=ωωωωωωωωωωω（02,1ω表示对应于12R导数的角速度在坐标系0000zyxo中的表达式）5.移动坐标系上点的线速度vroRpSopRp+⨯=+=+=ωω110(其中，1Rpr=是从1o到p的向量在坐标系0000zyxo的姿态中的表达式，v是原点1o运动的速度。6.雅可比矩阵的推导当机器人运动时，关节变量iq以及末端执行器的位置0no和姿态0nR都将为时间的函数。qJ=ξ其中，ξ和J由下式给出⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00nnvωξ和⎥⎦⎤⎢⎣⎡=wvJJJ向量ξ有时被称为体速度。矩阵J被称为机械臂的雅可布矩阵。角速度：末端执行器相对于基座坐标系的总的角速度0nω：011010122110...-=-∑=+++=iiniinnnnzqkRqkRqkqρρρρω其中，关节i为转动时，iρ等于1,；而关节i为平动时，iρ等于0。这是因为kRzii0101--=，当然，Tkz1,0,0(00==。所以...(101-=nnwzzJρρ线速度：inviqoJ∂∂=0，雅可比矩阵的第i列可以通过下列方式生成：固定除第i个关节之外的所有关节，同时以单位速度驱动第i个关节。平动关节：1-=ivzJi转动关节：(11---⨯=inivoozJi小结：雅可比矩阵的上半部分vJ由下式给出：...(1nvvvJJJ=其中，矩阵的第i列ivJ为(⎩⎨⎧-⨯=---izioozJiinivi对于平动关节对于转动关节111雅可比矩阵的下半部分为...(1nJJJωωω=其中，矩阵的第i列⎩⎨⎧=-iizJii对于平动关节对于转动关节01ω计算雅可比矩阵仅需知道单位向量iz以及原点noo,...,1的坐标。iz相对于基座坐标系的坐标，可由0iT第3列中的3个元素给出，同时io由0iT第4列中的3个元素给出。7.工具速度末端执行器和工具坐标系之间的固定空间关系由下列恒定齐次变换矩阵给出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=106dRTtool由于两个坐标系之间的刚性连接，工具坐标系的角速度与末端执行器坐标系的角速度相等。如果末端执行器坐标系以TTTv,(66ωξ=的体速度运动，那么工具坐标系的原点（它被刚性固连到末端执行器坐标系中）的线速度由下式给出：rvvtool⨯+=66ω，r是从末端执行器坐标系原点到工具坐标