数学竞赛辅导练习题答案2006、10、221．根据不等式性质，选B．2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，3．如图3－271，连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．4．由条件得三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，的可以区间，如图3－272．+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．6、原式＝。7、解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周长是24，则AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。∴。8、解：由方程组的解知两直线的交点为，而图A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是2≠1，故图C不对；图D中交点纵坐标是大于，小于的数，不等于，故图D不对；故选B。9、解：AD的中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN＝998，则ND＝1001。由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知∠BNC＝90°，注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所求点的个数为2。10、解：，只要令，，则为有理数，故（甲）不对；又若令，，则为有理数，故（乙）不对；又若令，则为有理数，故（丙）不对；故正确命题个数是0，应选（A）。二、填空题6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所9．因为a≠0，解得故a可取1，3或5．10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，所以3，，∴，.2．如图，AD为直角A的平分线，过B作交CA的延长线于点E.，，，又∽，，∴.3．2.4．3因为m、n为有理数，方程一根为，那么另一个根为，由韦达定理.得，，∴.5．由原图，∴(厘米).6．16,.显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m,n)，故满足条件的整数对(m,n)共(个).7．1111个相继整数的平方和为,则y最小时，从而，∴.8．∵∽，，,∴，..9．∵，同理,由原图，连BG.记，，，.又由已知，，解之得，.∴.10、解：，即，，，，，。11、解：左边＝，即，，而为整数，且不相等，只可能取值或。不妨设，则，或，∵（2）无整数解，由（1）得，。12、解：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则△BAM∽△TOB，∴，即。令DN＝1，CT＝MD＝，则AM＝，BM＝，BT＝，代入（1）式得，注意到，解得。三、解答题1、解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为∠ABE＋∠AEB=90°，∠CED＋∠AEB=90°，所以∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以所以解法2如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为∠ABE＋∠AEB＝90°，∠FEH+∠AEB=90°，所以∠ABE=∠FEH，于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为所以2、解：设分别表示答对题、题、题的人数，则有，，，∴答对一题的人数为37－1×3－2×15＝4，全班人数为1＋4＋15＝20，∴平均成绩为。答：班平均成绩为42分。