传染病问题中的SIR模型（转载）【完整版】(文档可以直接使用，也可根据实际需要修订后使用,可编辑放心下载）传染病问题中的SIR模型摘要：2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。在这里我采用SIR〔Susceptibles，Infectives，Recovered〕模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病开展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据,维护人类健康与社会经济开展。关键字：传染病；动力学；SIR模型。一﹑模型假设在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数〔这局部人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。〕占总人数的比例。病人的日接触率〔每个病人每天有效接触的平均人数〕为常数λ，日治愈率〔每天被治愈的病人占总病人数的比例〕为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。二﹑模型构成在以上三个根本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：siλsirμi在假设1中显然有：s(t)+i(t)+r(t)=1〔1〕对于病愈免疫的移出者的数量应为〔2〕不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为〔＞0〕，〔＞0〕，=0.SIR根底模型用微分方程组表示如下：〔3〕s(t)，i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t)，i(t)的一般变化规律。三﹑数值计算在方程〔3〕中设λ=1，μ=0.3，i〔0〕=0.02，s〔0〕=0.98，用MATLAB软件编程：functiony=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];ts=0:50;x0=[0.20,0.98];[t,x]=ode45('ill',ts,x0);plot(t,x(:,1),t,x(:,2))pauseplot(x(:,2),x(:,1))输出的简明计算结果列入表1。i(t),s(t)的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时到达最大值,然后减少,t→∞,i→0,s(t)那么单调减少,t→∞,s→0.0398.并分析i(t),s(t)的一般变化规律.t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398表1i(t),s(t)的数值计算结果四﹑相轨线分析我们在数值计算和图形观察的根底上，利用相轨线讨论解i〔t〕,s〔t〕的性质。i~s平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域〔s，i〕∈D为D=｛〔s，i〕|s≥0，i≥0，s+i≤1｝〔4〕在方程〔3〕中消去并注意到σ的定义，可得，〔5〕所以：〔6〕利用积分特性容易求出方程(5)的解为：〔7〕在定义域D内,(6)式表示