一、牛顿—莱布尼兹公式第十四讲定积分计算定理2：设f(x)∈C[a,b],F(x)是f(x)在[a,b]上的任意一个原函数,则有b一、牛顿—莱布尼兹公式f(x)dx=F(b)−F(a)=F(x)b∫aa二、定积分的换元积分法[证]因为f(x)∈C[a,b],故由定理1知,变上限x定积分G(x)=f(t)dt∫a三、定积分的分部积分法是f(x)在[a,b]上的一个原函数,且G(a)=0.b⇒G(b)=f(t)dt=G(b)−G(a)(1)∫a2011-11-1612011-11-162牛顿—莱布尼兹公式将定积分的计算问题又已知F(x)是f(x)在[a,b]上的任意转化为求被积函数的一个原函数的问题.一个原函数,故有11F(x)=G(x)+C[例1]计算dx∫01+x于是有,G(b)−G(a)=F(b)−F(a)111[解]dx=ln(1+x)|代入(1)式,便得到∫01+x0b=ln2−ln1f(x)dx=F(b)−F(a)∫a=ln22011-11-1632011-11-164π[例2]计算1−sinxdx[例3]利用定积分求极限∫0ππ1[解]1−sinxdx=1−2sinxcosxdxlimn(n+1)(n+2)L(2n)∫0∫022n→+∞nπ1xx2[解]令n=(sin2−cos2)dxyn=(n+1)(n+2)L(2n)∫0nπxx1则=sin−cosdxlnyn=[ln(n+1)+ln(n+2)+L+ln(2n)]−lnn∫022nπ2xxπxx1=(cos−sin)dx+(sin−cos)dx=[ln(n+1)+ln(n+2)+L+ln(2n)−nlnn]∫0∫πn22222nnπ1ii1xx2xxπ=(2sin+2cos)+(−2cos−2sin)=4(2−1)=∑ln(1+)=∑ln(1+)⋅|0|π22222ni=1ni=1nn2011-11-1652011-11-1661上式是函数f(x)=ln(1+x)在[0,1]的二、定积分的换元积分法特殊积分和它是把等分取为([0,1]n,ξi定理1:(定积分的换元积分法)右端点).设函数f(x)∈C[a,b],作变换x=ϕ(t),因为函数在上连续f(x)=ln(1+x)[0,1],满足三个条件：从而在[0,1]上可积,根据定积分的定义,得(1)ϕ(t)∈C1[α,β];1lim(lnyn)=ln(1+x)dxn→+∞∫0(2)a≤ϕ(t)≤b;1=[(x+1)ln(1+x)−x]|=2ln2−1(3)ϕ(α)=a,ϕ(β)=b,0bβ14则有f(x)dx=f[ϕ(t)]ϕ′(t)dtn2ln2−1∫a∫α所以lim(n+1)(n+2)L(2n)=e=n→+∞ne2011-11-1672011-11-168xxabb[例1]求定积分a2−x2dx(a>0)x=ϕ(t)x=ϕ(t)∫0π[解]令x=asint(0≤t≤)2πaa则当x=0时,t=0;当x=a时,t=2oαβtoβαta2−x2=acostdx=acostdt[证]设F(x)是f(x)的一个原函数于是由换元公式得dF[ϕ(t)]aπ′′′′22222=F(x)ϕ(t)=f(x)ϕ(t)=f[ϕ(t)]ϕ(t)a−xdx=acostdtdt∫0∫0βf[ϕ(t)]ϕ′(t)dt=F[ϕ(β)]−F[ϕ(α)]2π2π2∫αa2a12πab=(1+cos2t)dt=(t+sin2t)|==F(b)−F(a)=f(x)dx2∫022042011-11-16∫a92011-11-1610ln2[例3]若f(x)在对称区间[−a,a]上连续,则[例2]求定积分ex−1dx∫0(1)当f(x)为偶函数时,有aax2f(x)dx=2f(x)dx[解]令e−1=t即x=ln(t+1)∫−a∫0(2)当f(x)为奇函数时,有于是由换元公式得af(x)dx=0∫−a2ln21xta0ae−1dx=2dt[证](1)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx∫0∫01+t2∫−a∫−a∫0对于右端第一项,作变换:x=−t111π又由f(x)为偶函数知=2(1−2)dt=2(t−arctant)|=2−∫01+t02f(x)=f(−t)=f(t)2011-11-16112011-11-16122从而由换元公式得π2sinx+cosx00a[例]计算dx∫−π2f(x)dx=−f(t)dt=f(t)dt21+sinx∫−a∫∫a0ππ