第一章复变函数（39）一、内容摘要1.复数的定义：.2.复数的运算：①加.②减.③乘.④除,⑤,且.3.复数的表示：①有序实数对(，)；②复平面内直角坐标表示；③复平面内极坐标表示.4.复数的乘幂与方根运算①乘幂;②方根.5.复平面中的曲线及区域：①连续曲线；②简单曲线；③单连通域；④复连通域。6.复变函数：①单值函数；②多值函数。7.复变函数的极限与连续性。二、习题1.填空题（1）若，则_____________.（2）满足的点的轨迹是______________.（3）复数的指数形式为______________.（4）=__________.2.把下列复数化成最简形式：（1）.（2）.（3）.（4）.3.求下列复数的实部与虚部，模与幅角.（1）.（2）.（3）.（4）.4.设=，，试用三角形式表示及.5.求下列复数的幅角主值:（1）.（2）.6.用指数形式证明:（1）.（2）.（3）.（4）.7.试解方程:（1）.（2）.8.证明:（1）；一般.（2）.9.证明:（1）.（2）.（3）.10.下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？（1），.（2）.（3）.（4）1且.（5）.（6）.（7）.（8）.11.证明在原点不连续。12.设三点适合条件：.证明：是内接于单位圆的一个正三角形的顶点。13.已知.求的值。三、参考答案1.填空题（1）.（2）以为圆心，以为半径的圆。（3）.（4）.2.把下列复数化成最简形式。解：（1）原式=.（2）原式=.（3）原式=.（4）=+，于是=,=.(1.1)由此可得+=,因而必有=，联合（1.1）中第一式可解得;,虽然可解得两个值，两个值，但不能随意组合这些值，必须使其满足（1.1）中第二式，最终得当时，,对于的情形，当时，其值为，当时，其值为.3.求下列复数的实部与虚部，模与幅角.解：（1）－=,实部=，虚部=,模=，幅角=+，=0,±1,±2.......（2）==,=2,3,4可知，三种情况下模r=1，进一步有：所以时实部=，虚部=，幅角;n=3时实部，虚部，幅角;n=4时，实部=，虚部=，幅角=.（3），所以.（4）=实部=，虚部=，模r=1，幅角，=0,±1,±2,.4.解:因,,故=,=.5.解:（1）由===,我们可知.（2）=，故，所以.6.证明：（1）原式===，证毕。（2）====，证毕。（3）原式=，证毕。（4）原式，证毕。7.解：（1）得个根为：,.（2）,=,==-;==.8.证明：（1）设,,则==取，则，所以一般不成立，证毕。（2）原式左边==右边。9.证明：（1）设,;,.,,所以有,证毕。（2）设,,=,=,,证毕。（3）设,,===−,所以有,证毕。（4）设,,+==2=,即证。10.答:（1）连接点和的直线段的垂直平分线,是闭集,因而不是区域。（2）以过点平行于虚轴的直线为界的左半闭平面,不是区域。（3）右半复平面，是区域。（4）上半开平面去掉开单位圆盘剩下的部分,不是区域,因为上半单位圆上的点是边界点。（5）位于直线和之间的点集加上上边界,不是区域。（6）这是以直线为边界的左半平面,它是单连通区域。（7）这是以为中心1为半径的圆的外部和2为半径的圆的内部的公共部分，它是复连通区域。（8）这是以从原点引出的两条射线为边界的无界闭区域，它不是区域。11.证明：因(沿负实轴)，(沿正实轴)，故在原点无确定的极限，从而在原点不连续,证毕。12.证明：因为,所以,又因为，所以，即,同理可得而由可知，在以原点为圆心的单位圆上故是内接于单位圆上的一个等边三角形的顶点,证毕。13.解：由知，是方程除外的两个虚数根,即，因此，，，故原式.