专题二数列选择题（每小题6分）（00全国）给定正数p,q,a,b,c，其中pq，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0(A)(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根（03全国）删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（）A．2046B2047C．2048D．2049解：注意到452＝2025，462＝2116，∴2026＝a2026—45＝a1981，2115＝a2115—45＝a2070．而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数．又1981＋22＝2003，∴a2003＝a1981+22＝2026＋22＝2048．故选(C)．（04天津）已知数列，，，，，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前项之和等于（A）（B）（C）（D）（D）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）（00全国）等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.（03全国）设Mn＝{(十进制)n位纯小数｜ai只取0或1（i＝1，2，…，n－1，an＝1），Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则＝_______．解：∵Mn中小数的小数点后均有n位，而除最后一位上的数字必为1外，其余各位上的数字均有两种选择(0或1)方法，故．又因在这2n－1个数中，小数点后第n位上的数字全是1，而其余各位上数字是0或1，各有一半．故∴．（04全国）已知数列满足关系式，则的值是_________________________。解：设即故数列是公比为2的等比数列，.。（05全国）将关于的多项式表为关于的多项式其中则.解：由题设知，和式中的各项构成首项为1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令得取有（05天津）在数列{an}中，已知a1＝2，an+an+1＝1(n∈N+)．若Sn为数列{an}的前n项和，那么，S2003－2S2004＋S2005的值是_________________．解：3．当n为偶数时，a1＋a2＝1，a3＋a4＝1，…，an－1＋an＝1，则Sn＝，S2004＝1002；当n为奇数时，a2＋a3＝1，a4＋a5＝1，…，an－1＋an＝1，则Sn＝a1＋＝，∴S2003＝1003，S2005＝1004；∴S2003－2S2004＋S2005＝3．（06天津）已知都是偶数，且，，若成等差数列，成等比数列，则的值等于194．三、解答题(本题满分60分，每小题20分)（00全国）设Sn=1+2+3+…+n,nN，求f(n)=的最大值.(答案：50)（01全国）设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1＝a12，b2＝a22，b3＝a32(a1＜a2＝，又(b1＋b2＋……＋bn)＝＋1，试求{an}的首项与公差.分析：这是一个有关等差、等比数列的基本问题．数列｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝的前三项满足ｂｉ＝ａｉ2（ｉ＝1，2，3），由此可确定数列｛ａｎ｝的首项ａ１与公差ｄ的关系；由（ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ）＝＋1便可求出ａ１和ｄ的值．解：设｛ａｎ｝的公差为ｄ，由ａ１＜ａ２，得ｄ＞0．由ｂ２2＝ｂ１ｂ３，得ａ２4＝ａ１2ａ３2．∴ａ２2＝ａ１ａ３（舍去，否则ａ１＝ａ２＝ａ３），或ａ２2＝－ａ１ａ３．∴（ａ１＋ｄ）2＝－ａ１（ａ１＋2ｄ），即2ａ１2＋4ａ１ｄ＋ｄ２＝0．解得ｄ＝（－2±）ａ１．若ｄ＝（－2－）ａ１，则ｑ＝ａ２２／ａ１２＝（＋1）２＞1，不符合要求．若ｄ＝（－2＋）ａ１，则ｑ＝ａ２２／ａ１２＝（－1）２．由（ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ）＝＋1，得ｂ１／（1－ｑ）＝＋1，即ａ１２／（1－（－1））２＝＋1．解得ａ１２＝2．由ａ２２＝－ａ１ａ３及ａ１＜ａ２知ａ１＜0．∴ａ１＝－，ｄ＝（－2＋）ａ１＝2－2．（02）如图，有一列曲线P0，P1，P2……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,）。记Sn为曲线Pn所围成图形的面积。求数列｛Sn｝的通项公式；（2）求Sn.解：(1)对Ｐ0进行操作，容易看出Ｐ0的每条边变成Ｐ１的４条边，故Ｐ１的边数为3·4；同样，对P１进行操作，P１的每条边变成P２的４条边，故P２的边数为3·4２，从而不难得到Pn的边数为3·4n.已知Ｐ0的面积为Ｓ0=1，比较P１与Ｐ0.容易看出P１