孟津第二县直中学导学案编号：时间：年月日九年级九学科数学主备人李岩课题正方形的复习课时1复习目标：1、正方形的性质和判定2、运用正方形的性质和判定解决相关问题[教学重点]正方形中阴影部分面积的求解学习方法：自主学习，合作探究，教师点拨教学手段：教学流程补充与修正一、基础扫荡，自主总结1.正方形的性质2.正方形的判定二、自学、互学、导学例1如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分的面积为．考点：旋转的性质；正方形的性质．分析：设B′C′与CD交于点E．由于阴影部分的面积=S正方形ABCD-S四边形AB′ED，又S正方形ABCD=1，所以关键是求S四边形AB′ED．为此，连接AE．根据HL易证△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，由正切的定义得出DE=AD•tan∠DAE=．再利用三角形的面积公式求出S四边形AB′ED=2S△ADE．解答：解：设B′C′与CD交于点E，连接AE．在△AB′E与△ADE中，∠AB′E=∠ADE=90°，∴△AB′E≌△ADE（HL），∴∠B′AE=∠DAE．∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，∴∠B′AE=∠DAE=30°，∴DE=AD•tan∠DAE=．∴S四边形AB′ED=2S△ADE=2××1×=．∴阴影部分的面积=S正方形ABCD-S四边形AB′ED=1-=．练习：如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧AB上．则阴影部分的面积为（结果保留π）．例2如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动、如果Q点从A点出发，按A⇒B⇒C⇒D⇒A滑动到A止，同时点R从B点出发，按B⇒C⇒D⇒A⇒B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为。考点：弧长的计算；直角三角形斜边上的中线．分析：根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M到正方形各顶点的距离都为1，故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，点M所经过的路线为半径为1圆的周长，求出即可．例3已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝5．下列结论正确的有哪些，为什么？①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD＋S△APB＝1＋；⑤S正方形ABCD＝4＋．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（1）利用正方形的性质提供的相等线段和相等角，利用SAS判定两三角形全等；（2）利用上一道题证得的全等得到的对应角相等，证明∠BEP=∠PAE即可；（3）正方形的面积是边长的平方，而解决本题时不用求出正方形的边长，而是直接利用勾股定理求得边长的平方即可．解答：（1）证明：∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90∴∠EAB=PAD，又∵AE=AP，AB=AD，∴△APD≌△AEB；（2）解：∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB，又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°，∴EB⊥ED；教学反思