1.黄金分割常数1.黄金分割常数对于单峰函数，在同侧，离最佳点越近的点越是好点，且最佳点与好点必在差点的同侧．由此，可按如下想法安排试点:先在因素范围[a,b]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定差点与好点，在差点处把[a,b]分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围[a1,b1]，显然有[a1,b1][a,b]；再在[a1,b1]内任选两点各做一次试验，并与上次的好点比较，确定新的好点和新的差点，并在新的差点处把[a1,b1]分成两段，截掉不包含新好点的那段，留下新的存优范围[a2,b2]，同样有[a2,b2][a1,b1]……重复上述步骤，可使存优范围逐步缩小.在这种方法中，试点的选取是任意的,只要试点在前一次留下的范围内就行了.这种任意性会给寻找最佳点的效率带来影响.例如，假设因素区间为[0,1]，取两个试点2/10、1/10，那么对峰值在(0,1/10)中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为4/5的区间(图1)；但对于峰值在(2/10,1)的函数，只能去掉长度为1/10的区间(图2)，试验效率就不理想了.***思考***怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点?***思考***怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点?试点时，最好使两个试点关于[a,b]的中心(a+b)/2对称.同时，为了尽快找到最佳点，每次截去的区间不能太短，但是也不能很长.因为为了一次截得足够长，就要使两个试点x1和x2与(a+b)/2足够近，这样，第一次可以截去[a,b]的将近一半.但是按照对称原则，做第三次试验后就会发现，以后每次只能截去很小的一段，结果反而不利于很快接近最佳点.为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同.下面进一步分析如何按上述两个原则确定合适的试点.a2.黄金分割法——0.618法2.黄金分割法——0.618法[例2]若某原始的因素范围是[100,1100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量.分别以an表示第n次试验的加入量(结果都取整数).(1)求a1，a2.(2)若干次试验后的存优范同包含在区间[700,750]内，请写出{an}的前6项.(3)在条件(2)成立的情况下，写出第6次试验后的存优范围.解：(1)由黄金分割法知：第一次的加入量为：a1=100+0.618×(1100－100)=718.所以a2=100+1100－718=482.(2)因为[700,750]包含存优范围．所以最优点在区间[700,750]上.由此知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优范围取[482,1100]，所以a3=482+1100－718=864，同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优范围是[482,864]所以a4=482+864－718=628.同理可求得a5=628+864－718=774；a6=628+774－718－684.(3)由(2)知第6次试验前的存优范围是[628,774]，又718是一个好点，第6次试验点是684，比较可知718是好点，去掉684以下的范围，故所求存优范围是[684,774].[例3]调酒师为了调制一种鸡尾酒.每100k烈性酒中需要加入柠檬汁的量1000g到2000g之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量.(1)写出这个试验的操作流程.(2)如果加入柠檬汁误差不超出1g，问需要多少次试验?解：(1)试验可按以下进行：①做第一次试验：第一次试验的加入量为:(2000－1000)×0.618+1000=1618(g)，即取1618g柠檬汁进行第一次试验.②做第二次试验：在第一点的对称点处做为第二次试验点，这一点的加入量可用下面公式计算(此后各次试验点的加入量也按下面公式计算)：大－中+小=第二点.即第二点的加入量为：2000－1618+1000=1382(g).③比较两次试验结果，如果第二点比第一点好，则去掉1618克以上的部分；如果第一点较好，则去掉1382克以下部分．假定试验结果第一点较好，那么去掉1382克以下的部分，即存优范围为[1382，2000]，在此范围找出第一点(即1618)的对称点做第三次试验.其加入量用公式计算：加入量=大－中+小.即第三次试验的加入量为：2000－1618+1382=1764(g).④再将第三次试验结果与第一点比较，如果仍然是第一点好些，则去掉1764克以上部分，如果第三点好些，则去掉1618克以下部分.假设第三点好些，则在留下部分(即[1618,2000])找出第三点(即1764)的对称点做第四次试验.第四点加入量为：2000－1764+1618=1854(g).⑤第四次试验后，再与第二点比较，并取舍.在留下部分用同样方法继续试验，直至找到最佳点为止