Mallat算法及问题Mallat算法在小波多分辨率分析中具有极其重要的地位。Mallat算法中，与尺度函数相联系的是低通滤波器，与小波函数相联系的是高通滤波器。分解后得到离散逼近信号[又称：尺度系数]，和离散细节信号[又称：离散小波系数]。本文以《小波分析及其应用》为主要参考书。未指明情况下，均指该书。1．由滤波器系数计算滤波器系数尺度滤波器（低通滤波器）是核心，小波滤波器可由计算得到。计算公式为。该公式的含义为：将以翻转，得到，再将序列右移1位，即得到。再乘上符号，即得到。如图所示：可见，实现方法为：对倒序，然后在对该序列的适当位置添加负号。如最后（从左到右）1位乘以（因为其，），倒数第2位保持原数（因为其，），以此类推。特别注意，以上序列索引从开始（Matlab中就是如此），而以点为中心翻转。如果序列从开始索引，则需要作调整，原乘以改为乘以，原乘以的改为乘以。在Matlab中，用Orthfilt()函数可得到各种正交小波的滤波器系数Lo_D（低频分解滤波器）和Hi_D（高频分解滤波器），另外，Lo_R和Hi_R分别为低频重构滤波器和高频重构滤波器。特别注意的是，Lo_R为Lo_D的倒序：Lo_D=wrev(Lo_R)；Hi_R为Hi_D的倒序：Hi_D=wrev(Hi_R)。wrev即矢量倒序。另，Wfilters()函数可得到各种小波的滤波器系数，不限于正交小波。Matlab中，分解是按照公式3.2.6（即3.4.9）和3.2.18（即3.4.10），即：进行的，其对应的抽取图为图3.1，即滤波器为分解滤波器和。其中，。公式3.4.9/10可转换为公式3.4.11/12，令，得，即可。所以，本设计与Matlab中的滤波器组对应关系应当为：（P46）2．一维小波分解（DWT）在程序中采用的是进行分解，即书上公式（3.4.11）和（3.4.12）。因此本次的设计中仅出现重构滤波器对和。在小波一级分解时，。这里只讨论部分。设滤波器的长度为，即：；输入序列的长度为，即：。上式中，的负标号，和的大于等于的标号均为超出边界的元素。以上每一式可以表示为矩阵相乘，即：以L=5，N=8为例，，，，，以上可见：~和~为边界的延拓。边界延拓请看下一节。Matlab中对应的函数为：[cA,cD]=dwt(X,'wname')——'wname'为小波函数，确定滤波器系数。[cA,cD]=dwt(X,'wname','mode',MODE)——'mode'为延拓方式，见下一节。[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)——直接给定分解滤波器系数。3．边界的延拓首先确定需要延拓的位数。包括前补部分，和后补部分。滤波器的长度为，即：；输入序列的长度为，即：。补充序列，到满足上述矩阵相乘即可。关注的索引号。与相乘的索引号为偶数，如形式。在每个矩阵乘法中，列矩阵从该索引号开始，顺序，列矩阵长度为的长度。明显可以看出以下延拓规律：L为奇数：前补L-1位L为偶数：前补L-2位N为奇数：后补L-1位N为偶数：后补L-2位延拓方式主要有：补零延拓（Matlab中的ZPD），周期延拓（PPD），对称延拓（SYM）。（1）如采用补零延拓，则延拓后的序列为：算法：直接构造两个指定长度的、所有元素值为0的前补和后补序列，分别插入（InsertArray）到原始序列的头和尾。（2）如采用周期延拓，则延拓后的序列为：算法：对于后延拓，先构造一个指定长度的、所有元素值为0的后补序列，然后利用For循环（次数为延拓序列的长度）逐位修改该序列中的数值，规律为循环次数i（即延拓序列的索引数）除以原始序列长度，以其余数（R）索引原始序列，用得到的原始序列中的数值，修改延拓序列中第i个索引元素的值。对于前延拓，采用以上类似的方法。为方便处理，程序中用余数（R）索引原始序列倒序后的序列，用循环对每个元素修改完成后，再对输出序列倒序，得到正确的后延拓序列。前延拓序列和后延拓序列分别插入到原始序列的头和尾。（3）如采用对称延拓，则延拓后的序列为：若边界对称点不参与对称行为（Half-Point）则为：算法：采用周期延拓类似的方式。不同之处在于，是用余数R去索引原始序列，还是原始序列的倒序序列。这时就要用上商（IQ）的奇偶值了。对于后延拓序列，若IQ为奇数，则索引原始序列；若IQ为偶数，则索引原始序列的倒序序列。对于前延拓序列，类似考虑。若边界对称点参与对称行为（Whole-Point）则为：算法：采用以上类似的方法。不同之处在于，是用余数R去索引的原始序列必须减少一位，或，根据IQ的奇、偶不同，以及前、后延拓不同。设：延拓后序列长度为，如上例为15。在编程中，延拓后的序列索引从0开