教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(http://www.sp910.com/)教师之家-免费中小学教学资源下载网(http://www.teacher910.com/)专题测试-------数论时间：1小时分数：70分1、（第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组））将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成__________组。解答：；；；；；；根据质因数分解可以看到：一共有2、3、5、7、11、13六个，而每个数都有2个质因数，所以可能可以分为2组，每组3个数，必须总共都包含这6个质因数。然后我们做尝试，发现放14的组里肯定不能放20和175，那么还有33、117和143这三个数，但我们发现这三个数两两都有公因数，所以至少要分三组。而分三组的话很容易可以得到（14，33）（20，117）（143，175）这样三组就是一种分法。评论：难度：★★★互质及质因数分解（6分）2、（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。解答：，可以发现（丙）是一个完全平方数（甲甲），而且应该是偶数（乙+乙），所以（丙）应该最少为，所以甲最小是评论：难度★★★★完全平方数、奇偶性（5分）3、（清华附中考题）有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.解答：；，那么232和377的公约数有：1和29，显然1不可能，所以答案是29，代入检验可知29是正确答案。评论：难度★★★★余数问题（6分）4、（101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。解答：设这个两位数为，那么添了一个0后变为：，化简，，添上0后变为原来的9倍也就是说：，即：，，移项得：所以，又因为x、y都是一位数，所以x=4，y=5。评论：难度：★★用字母表示数（7分）5、（重点中学3月9日下午测试卷）五位数是某个自然数的平方，则4x+7y=_____解答：五位数，万位是2，因为，所以这个自然数肯定是100多，而且末位是1，那么这个自然数的末位就只能是1或者9，那么就可以设这个数是或者，然后将a从0到9依次代入检验即可，最后可以得到只有1612=25921，所以x=5，y=2，那么4x+7y=34评论：难度★★★完全平方数的末位、简单的估算（9分）6、（重点中学3月9日下午测试卷）p、q为质数，m、n为正整数，p=m+n,q=mn,则_______解答：因为q=mn，而q又是质数，所以m、n里肯定有一个是1，不妨把m看作1，那么q=n，n也是质数，而p=m+n，也就是p=1+n，两个相邻的自然数都是质数，只有2和3这一组，所以p=3，q=n=2，m=1，评论：难度★★★质数与合数的特点（6分）7、（北京市学校五年级2005学年度超常儿童素质调查思维素质调查初试（第1卷）调查类型：B）□□÷□＝（）;□×□=（）;□＋□=（）;□－□=（）将l～9填入到上面的9个方框中，每个数字用1次，那么4个算式的计算结果之和最大是多少？解答：9个格子中只有除数和减数这两格应该是越小越好的，所以填上1和2，而且除数如果填2的话，那么被除数立刻就比填1的时候少了一半，所以除数填1，减数填2。接着看被减数，两个加数以及被除数的个位这4个格子起的作用都是等于其数值本身，所以不用填很大的数，把较小的3、4、5、6填上，而对和影响最大的是被除数的十位部分，它相当于数字值的10倍，所以填9，那么就可以填出下面结果来：；；；结果之和为：评论：难度★★★最值问题（8分）8、（第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组））黑板上写着1至2008共2008个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是________。解答：要让和最小，那么应该擦去的数尽量大，最大的就是2008和2006这两个，擦去后添上2007，两个2007又能擦去一个，这样就变成了1~2007，一直进行，不难发现最后剩下一个2。所以有：最小的：(2008,2006)→（2007，2007）→（2007，2005）→（2006，2004）→（2005，2003）→（2004，2002）→……（6，4）→（5，3）→（4，2）→（3，1）→2最大的：(1,3)→（2，2）→（2，4）→（3，5）→（4，6）→（5，7）