初三下导优提纲1（2009•厦门AOBDCP24．9分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP＝EQ\F(2,3)，∠A＝30º．(1)求劣弧eq\o(AC,\s\up5(⌒))的长；(2)若∠ABD＝120º，BD＝1，求证：CD是⊙O的切线．24．(本题满分9分)(1)解：延长OP交AC于E，∵P是△OAC的重心，OP＝eq\f(2,3)，∴OE＝1，……1分且E是AC的中点.∵OA＝OC，∴OE⊥AC.在Rt△OAE中，∵∠A＝30°，OE＝1，∴OA＝2.……2分∴∠AOE＝60°.∴∠AOC＝120°.……3分∴eq\o(\s\up8(︵),\s\do0(AC))＝eq\f(4,3)π.……4分(2)证明：连结BC.∵E、O分别是线段AC、AB的中点，∴BC∥OE，且BC＝2OE＝2＝OB＝OC.∴△OBC是等边三角形.……5分法1：∴∠OBC＝60°.∵∠OBD＝120°，∴∠CBD＝60°＝∠AOE.……6分∵BD＝1＝OE，BC＝OA，∴△OAE≌△BCD.……7分∴∠BCD＝30°.∵∠OCB＝60°，∴∠OCD＝90°.……8分∴CD是⊙O的切线.……9分法2：过B作BF∥DC交CO于F.∵∠BOC＝60°，∠ABD＝120°,∴OC∥BD.……6分∴四边形BDCF是平行四边形.……7分∴CF＝BD＝1.∵OC＝2，∴F是OC的中点.∴BF⊥OC.……8分∴CD⊥OC.∴CD是⊙O的切线.……9分（2010•厦门25.（本题满分10分）[来源:Z,xx,k.Com]如图8，矩形的边、分别与⊙相切于点、,.（1）求的长；（2）若,直线分别交射线、于点、，°，将直线沿射线方向平移，设点到直线的距离为，当时，请判断直线与⊙的位置关系，并说明理由解：（1）连接OE、OF，∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，∴∠A=90°，∠OEA=∠OFA=90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF=90°，OE=AE=∴的长==π．（2）解：如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M1N1，切点为R，交AD于M1，交BC于N1，连接OM1、OR，∵M1N1∥MN∴∠DM1N1=∠DMN=60°∴∠EM1N1=120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O=∠BM1N1=60°在Rt△EM1O中，EM1===1∴DM1=AD-AE-EM1=+5--1=4．过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK=DM1×sin∠DM1K=4×sin∠60°=2即d=2，∴当d=2时，直线MN与⊙O相切，当1≤d＜2时，直线MN与⊙O相离，当直线MN平移到过圆心⊙O时，记为M1N1，点D到M1N1的距离d=DK+OR=2+=3＞4，∴当2＜d≤4时，MN直线与⊙O相交．初三下导优提纲223、（2011•厦门）如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足为D．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）若AC=2，tan∠ABD=2，求⊙O的直径．考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形。专题：计算题；证明题。分析：（1）先连接OA，由于BA平分∠CBE，那么∠ABE=∠ABO，而∠ABO=∠BAO，易得∠BAO=∠ABD，结合AD⊥BE，易求∠BAO+∠BAD=90°，即∠DAO=90°，从而可证AD是⊙O切线；（2）由于BC是直径，那么∠BAC=90°，而∠ABD=∠ABO，tan∠ABD=2，易得tan∠ABO=2，在Rt△ABC中，易求AB，进而可求BC．解答：解：如右图所示，连接OA．（1）∵BA平分∠CBE，∴∠ABE=∠ABO，又∵∠ABO=∠BAO，∴∠BAO=∠ABD，∵AD⊥BE，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴∠BAO+∠BAD=90°，即∠DAO=90°，∴AD是⊙O切线；（2）∵BC是直径，∴∠BAC=90°，又∵∠ABD=∠ABO，tan∠ABD=2，∴tan∠ABO=2，在Rt△ABC中，AB==，∴BC===5．点评：本题考查了切线的判定、勾股定理、正切．解题的关键是连接OA，并求出AB．（2008•厦门）23．（本题满分10分）已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点．CPBOAD（第23题）（1）求证：是的切线；（2）若，求的值．（1）证明：，．1分又，2分．3分4分又于，，．5分是的切线．