第六章二次型定义1系数在数域R中的含有n个变量的二次齐次多项式例如取令由上面的讨论我们知道，任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵；反之任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．因此，我们把实对称矩阵A叫做二次型的矩阵，也把二次型叫做实对称矩阵A的二次型，例1求二次型f的秩.例2求对称矩阵A所对应的二次型.化为矩阵形式.这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型.一般地，对于二次齐次函数(二次型)为由变量为X=CY的逆变换.证设经过非奇异线性变换定理2设A，B是实对称矩阵，则A与B合同的充分故B=CAC.即A与B合同.解:用配方法令其矩阵通过计算可验证二、正交变换法例设实对称矩阵A=β3=α3-注正交变换化二次型为标准形，具有保持三、初等变换法上式说明：对于实对称矩阵A相继施以初等列变换，同时施以同种初等行变换，矩阵A就合同于一个对角矩阵.由此得到化二次型为标准形的初等变换法：例3用初等变换法化例3中的二次型f=2x1x2+2x1x3-6x2x3为标准形，并求所用的变矩阵.这样，矩阵A就化为了对角矩阵，相应的二次型化成了标准形第三节惯性定理和正定二次型定理5任意实二次型f，经过不同的可逆变换化为标准形后，正平方项的个数和负平方项的个数都是由f唯一确定的.实二次型的标准形保持其正平方项个数和负平方项个数不变的特性，称为实二次型的惯性.因此，常称定理5为惯性定理.这里不予证明.二次型f的标准形（6.5）中正平方项的个数p称为二次型的正惯性指数，负平方项的个数r-p称为负惯性指数.正惯性指数与负惯性指数的和为r，恰等于二次型f的秩.y1=推论1任意实二次型都可以通过可逆变换化为规范形，且规范形是唯一的.推论3实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是A与B有相同的规范形.定义3可逆变换不改变二次型的正定性.设n元二次型设实二次型若对某些X有A的特征值全小于零；定理12但至少有一个主子式等于零.注实对称矩阵A的顺序主子式大于或等于零时，A不一定是半正定的，例如.因此半正定的这个性质与正定是不同的.三、应用示例多元函数极值的理论是微分学中应用很广泛的内容，但在一般的微积分教科书中仅对二元函数取极值的充分条件进行了讨论，对于两个以上变量的情形不作介绍.下面以三元函数为例，将矩阵与二次型的理论、方法应用于极值研究.对于n元函数，读者可得到类似的结果.例3设三元函数y=f(x1，x2，x3)在点X0=()的邻域内具有二阶连续偏导数，则f(x1，x2，x3)在X=X0处的二阶泰勒展开式为若记f(X)=f(x1，x2，x3)，f(X0)=f()，ΔX=()T，在上式中，称gradf(X0)为函数f(X)在X=X0处的梯度，H(X0)为f(X)在X=X0处的黑塞（Hesse）矩阵，它们分别是由f(X)在X=X0处的一阶偏导数构成的n维行向量和二阶偏导数构成的n阶实对称矩阵.与二元函数类似，f(X)在X=X0处取得极值的必要条件是gradf(X0)=0.当gradf(X0)=0时，若ΔX≠0，且‖ΔX‖充分小时，则可略去泰勒展开式中的高阶无穷小量.于是有由此可见，f(X0)是否为f(X)的极值，取决于二次型（ΔX）TH(X0)ΔX的符号.因此，由二次型与极值的概念，三元函数取得极值的充分条件可叙述为，当H(X0)为正定矩阵时，f(X0)为f(X)的极小值；当H(X0)为负定矩阵时，f(X0)为f(X)的极大值.并且还可得知，当H(X0)为半正（负）定矩阵时，f(X0)是否为f(X)的极值需进一步确定；当H(X0)为不定矩阵时，f（X0）不是f(X)的极值.